La preimagen del ideal maximal es maximal

Question

Acabo de empezar un curso de álgebra conmutativa y estoy atascado en el primer problema de los deberes:

Dejemos que $A \not= \{0\}$ sea un anillo conmutativo. Sea $\Phi : A \longrightarrow B$ sea un homomorfismo de anillo donde $B$ tiene un número finito de elementos. Demuestre que si $I$ es un ideal máximo de $B$ entonces $\Phi^{-1}(I)$ es un ideal máximo de $A$ .

Es bastante fácil demostrar que si $I$ es un ideal entonces $\Phi^{-1}(I)$ también es un ideal, pero estoy atascado en la maximalidad. Mi idea era suponer, por una contradicción, que existe algún ideal propio $J \subset A$ que contiene estrictamente $\Phi^{-1}(I)$ entonces su imagen sería tal vez un ideal propio en $B$ que contiene estrictamente $I$ lo que contradice la maximalidad de $I$ . Sin embargo, esto no parece funcionar, ya que no puedo probar que la imagen de $J$ es un ideal propio. No se da que $\Phi$ es sobreyectiva. Tampoco estoy seguro de cómo explotar el hecho de que $B$ tiene un número finito de elementos.

¿Alguna pista sobre este problema (sin soluciones completas, por favor)?

Answer 1

Pistas. $A/\Phi^{-1}(I)$ es isomorfo a un subring de $B/I$ . El último es un campo finito. Los dominios integrales finitos son campos. Un ideal es maximal si su anillo cotizante es un campo.