Suma de los recíprocos de los números primos diverge

Question

Me puede mostrar que

$$\log(\zeta (s)) = \sum _{p\in\Bbb P} \frac{1}{p} + R(s)$$where $$R(s) = \sum _{m\geq 2} \sum_{p\in\Bbb P} \frac{1}{m} \frac{1}{p^{ms}}$$

donde $\Bbb P$ es el conjunto de todos los números primos, y que LHS diverge como $s\rightarrow 1^+$. Lo que estoy teniendo problemas con la se muestra que las $R(s)$ es delimitada como $s\rightarrow 1^+$.

Puedo llegar a

$$R(s) \leq \sum_{n\geq 2} \frac{1}{n^s (n^s - 1)} $$

pero no creo que te sea de ayuda.

Answer 1

Considere la posibilidad de que: $$\lim_{s\to 1^+}R(s)\le \lim_{s\to 1^+} \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n^s(n^s-1)}\le \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n(n-1)}=1 $$ And we know that: $$\lim_{s\to 1^+}\zeta(s)=\infty$$ By using this fact that the function $\ln(n)$ is increasing and $\lim_{n\to \infty} \ln(n)=\infty$, we can get: $$\lim_{s\to 1^+} \ln(\zeta(s))=\infty$$ From here and your equation: $$\ln(\zeta(s))=\sum_{p\in \mathbb P}\frac 1p +R(s)$$ When $s\a 1^+$, we have: $$\lim_{s\to 1^+}\ln(\zeta(s))=\sum_{p\in \mathbb P}\frac 1p +\lim_{s\to 1^+}R(s)$$ But the left side of above equation tend to infinity and in right side, $\lim_{s\1^+}R(s)\le 1$ . So, $$\sum_{p\in \mathbb P}\frac 1p $$ es la divergencia.