Probabilidad condicional - una discusión formal

Question

Esta es una pregunta filosófica.

P[B|A] se define formalmente como: P[B y A]/P[B] donde a y B son eventos en un sigma álgebra y P es una función de masa de probabilidad.

Es decir, P[B|A] es una división de dos números. Si es así, cómo es que hay problemas en los que nos es difícil calcular P[B y a,] así como P[B], pero es fácil para nosotros la razón sobre los P[B|A] y así se le asigna un valor de P[B|A] inmediatamente sin tener que pasar a través de la división? (No puedo pensar en un ejemplo para esto, pero yo seguramente recuerdan la existencia de tales casos. ¿Alguien puede dar un ejemplo?)

Para ser más concretos, me encantaría ver un ejemplo donde es difícil\imposible calcular P[a y B] o P[B] pero es fácil razonar acerca de P[A|B] intuitiva de los niveles junto con una justificación de este razonamiento (estoy hablando de espacio muestral y la probabilidad definiciones de función).

Answer 1

Creo que te refieres $P(A|B)$ en lugar de $P(B|A)$; voy a suponer que.

Podría suceder que en el evento de $B$, si es que sucede, los controles de las condiciones de $A$ a suceder, lo que no implica que uno tiene alguna idea de cómo probables $B$ es. Como un caso extremo, $B$ podría, lógicamente implican $A$, en cuyo caso $P(A|B)=1$ independientemente. Otro ejemplo es que si alguien tira una moneda, pero no tengo idea de si la moneda es justo; para los eventos $A$: gano el sorteo, y $B$: la moneda es justo, yo sé que, por definición, que $P(A|B)=0.5$, a pesar de que yo no sé nada acerca de $P(B)$ o $P(A\cap B)$.

Answer 2

Tome la siguiente configuración:

Cuadro I contiene uno de mármol rojo y uno verde de mármol.
Cuadro II contiene una mármol rojo y dos de color verde a las canicas.

Alguien está a punto de lanzar una moneda. Si sale cara, la persona que va a sacar una canica al azar de cuadro I. Si se trata de las colas, a la persona que va a sacar una canica al azar de cuadro II.

De manera informal, parece claro que si la moneda sale cara, la probabilidad de que la canica roja es 1/2. Pero la definición formal de la probabilidad condicional, no puede ser aplicada en este punto. Usted necesita un espacio muestral, decir: H, HG, TR, TG; y una asignación de la no-los números negativos para cada uno de los cuatro elementos del espacio muestral. (Los números se debe añadir 1). Cómo acerca de la asignación de 1/4 a cada uno de ellos? Tenga en cuenta que esto es perfectamente legítimo espacio muestral. Así que usted puede utilizar la definición formal y obtendrá P(Rojo|Cabezas) = 1/2 . (Cabezas: {H, HG} y Rojo: {AR, TR}). Sin embargo, usted también obtener P(Rojo|Colas) = 1/2. Que no coincide con el sector informal de la probabilidad de 1/3. Sin embargo, nuevamente, el espacio muestral es legítimo.

¿Cómo podría usted consigue cuatro números, de manera que la definición formal daría lugar a respuestas que coinciden con la informal posibilidades? El uso de la regla informal:

  chance of . . . followed by _ _ _ is equal to conditional chance of _ _ _ given . . .     
                                                times  
                                                chance of . . .  

Así que para definir el habitual espacio muestral en esta configuración, usted necesita ser capaz de reconocer (informal) probabilidad condicional y se multiplican de forma adecuada. (La declaración de la regla de Bayes en los textos es a menudo engañosa en este sentido.)

Roger Purves

Answer 3

La proporción de votantes en el estado que va a votar por el "sí" en el próximo referéndum es $R$. Digamos que usted decide representar a su incertidumbre sobre el valor de $R$ diciendo $R$ tiene una cierta distribución de probabilidad apoyado en el intervalo de $[0,1]$. 1000 votantes será elegido al azar y le preguntó si van a votar por el "sí". El número de $X$ que responde "sí" es una variable aleatoria cuya condicional de distribución de probabilidad dada $R$ es una distribución binomial, por lo que podemos decir $$\Pr(X = x\mid R) = \binom{1000}{x}R^x (1-R)^{1000-x}.$$

Después de eso, podemos encontrar $\Pr(X=x)$ diciendo que es igual al valor esperado de la expresión de arriba y encontrar que.

Eso es un ejemplo.

Answer 4

Me voy a dar un ejemplo donde es potencialmente difícil encontrar los valores de dos incógnitas $x$ $y$ explícitamente, pero donde es fácil hablar de $\frac{x}{y}$:

Deje $x$ el número de átomos de hidrógeno en un dado y una cantidad desconocida de agua y $y$ el número de átomos de oxígeno. Ahora podría ser muy difícil de medir o simplemente imaginar la cantidad de hidrógeno o átomos de oxígeno en una gran (pero no se conoce con precisión) cantidad de agua, mientras que tenemos la certeza de que $\frac{x}{y}=2$.

Dicho de otra manera, el cociente de dos números tiendas, en general, sólo una fracción de los datos contenidos en la suela de los números.

Answer 5

Función de Probabilidad Condicional - Mis pensamientos:

Una necesidad para la representación de los eventos en la presencia de conocimientos previos: Considerar la probabilidad de sacar un rey de corazón al azar de una baraja estándar de 52 cartas. La probabilidad de este evento, sin ningún tipo de conocimiento previo es 1/52. Sin embargo, si uno se entera de que la carta es de color rojo, entonces la probabilidad de obtener un rey de corazón se convierte en 1/26. Del mismo modo, si uno reúne el conocimiento de que la tarjeta es una tarjeta de la cara (as, rey, reina y jack), entonces la probabilidad se desplaza a 1/16. Así, vemos que en representación de un evento en la presencia de conocimientos previos es importante y condicional evento representación de (A|H) es el más adoptado representación para resolver esta necesidad. No importa lo que la representación que adoptar, estamos de acuerdo en que condicional evento resuelve una única preocupación de representación de conocimiento condicional.

Lo que es más elementales incondicional Vs. condicional: el debate sobre si La probabilidad condicional es la más elemental de (incondicional) de la probabilidad se mantiene como un atractivo tema para muchos estadístico [1] así como los filósofos [2]. Mientras que el más adoptado la notación de probabilidad condicional y su relación de representación, a saber. P(A|H)=P(AH)/P(H) donde P(H)>0 indica (incondicional) de la probabilidad es la más elemental, la otra escuela de pensamiento tiene su lógica. Para ellos, cuando decimos que la probabilidad de obtener un valor nominal de 2 en un tiro aleatorio de una feria dado es 1/6, aplicamos los conocimientos previos que todo lanzamiento tierras a la perfección en una cara tal que una cara será visible de forma inequívoca, o que los dados no se rompen en pedazos cuando se enrolla y así sucesivamente. Por lo tanto, podemos aplicar un conocimiento previo con el fin de determinar el espacio muestral de los seis valores de cara. No importa qué tipo de probabilidad es el más elemental, siguiendo la notación de probabilidad condicional, estamos de acuerdo en que hablamos de (incondicional) probabilidad de que al que hemos aceptado un espacio muestral como el super la mayoría de la población y no estamos dispuestos a entrar a la deriva por la adición de nuevos puntos de muestra para este espacio. Del mismo modo, podemos hablar de la probabilidad condicional cuando nos centramos en un evento con respecto a la sub-población de la súper-mayoría (absoluta en este sentido) de la población.

Es allí cualquier caso, que sólo puede ser resuelto por la probabilidad condicional: una Vez más, siempre y cuando aceptamos la relación de la representación de la probabilidad condicional, vemos que la probabilidad condicional puede ser expresada en términos de probabilidad incondicional. Por lo tanto, conceptualmente, cualquier problema donde la probabilidad condicional se utiliza, también puede ser resuelto sin el uso de la probabilidad condicional. Sin embargo, debemos apreciar que para los casos donde la población y de la sub-población no son parte del mismo experimento, el uso de la probabilidad condicional es realmente útil (no necesariamente inevitable). Para explicar esto más a fondo, en caso de encontrar la probabilidad de un rey de corazón, dado que la tarjeta es de color rojo, realmente no necesitamos la probabilidad condicional, porque la población de 52 cartas y sub-población de 26 cartas rojas son muy claras para nosotros. Sin embargo, para casos tales como la aplicación de un medicamento de prueba en una vaca para determinar si es de la vaca loca-enfermedad, si sabemos falsos positivos y falsos negativos de las probabilidades de la prueba, a continuación, para encontrar la probabilidad de que una vaca tiene la enfermedad dado que ha resultado positivo en la prueba, la probabilidad condicional puede ser utilizado con gran efecto. Si me puede traer una analogía de 'más' y 'multiplicación' símbolos de las matemáticas, todos sabemos que cualquier problema que utiliza el símbolo de multiplicación, también puede ser resuelto sin que por el simple uso de 'plus' símbolo. Del mismo modo, en cuanto a la solución de problemas de probabilidad condicional se puede evitar por completo como símbolo de multiplicación en matemáticas. Aún así, podemos apreciar la utilidad de la probabilidad condicional como podemos apreciar el uso de la multiplicación en matemáticas.

\begin{equation*} \sup_{j\in \mathbb{N}}|\lim_{n\to \infty}(c_n-x)|=\sup_{j\in \mathbb{N}}|\xi-x|<\epsilon, \end-----Bibliografía------------

[1] H. Nguyen y C. Walker, "una historia y Una introducción al álgebra de los condicionales eventos y probabilidad lógica" de los Sistemas, del Hombre y de la Cibernética, de la IEEE transactions on
(Volumen:24 , Edición: 12 ), pp 1671 - 1675, Diciembre de 1994.

[2] A. Hájek, "Probabilidad Condicional" Manual de Filosofía de la Ciencia. Volumen 7: Filosofía de las Estadísticas., vol. 7, pág. 99, 2011.