Cerrado subespacio de $l^\infty$

Question

Tengo aquí este ejercicio que dice: "Mostrar que $c$ es un subespacio cerrado de $l^{\infty}$" ($c$ me refiero a las secuencias de $l^{\infty}$ que convergen en $l^{\infty}$, con respecto a la norma de $l^{\infty}$). Yo lo he hecho, pero no puedo decir si es correcto.

Con el fin de mostrar que el $c$ es un subespacio cerrado de $l^{\infty}$, tengo que demostrar que cualquier secuencia convergente $\{c_n\}_n$ de los elementos de $c$ converge a $x\in c$. Sé que, desde el $l^{\infty}$ es completa, $\{c_n\}$ converge a $x\in l^{\infty}$, por lo que es suficiente demostrar que $x\in c$. Desde $\{c_n\}$ converge a$x\in l^{\infty}$,$||c_n-x||_\infty\to 0$$n\to \infty$, es decir, $\sup_{j\in \mathbb{N}}|c_n-x|\to 0$ (aquí se $j$ ejecuta a través de los elementos de la secuencia $c_n-x$), es decir, por cada $\epsilon>0$ existe $N>0$ tal que $\sup_{j\in \mathbb{N}}|c_n-x|<\epsilon$$n>N$.

Ahora, desde la $c_n\in c$,$c_n\to \xi\in l^{\infty}$$n\to \infty$, y así para cada $\epsilon>0$

\begin{equation*} \sup_{j\in \mathbb{N}}|\lim_{n\to \infty}(c_n-x)|=\sup_{j\in \mathbb{N}}|\xi-x|<\epsilon, \end{ecuación*}

lo que significa que $x\in c$.

¿Qué te parece? Hay alguien que podría sugerirme un argumento diferente?

Answer 1

Creo que su argumento tiene las ideas correctas, pero aún necesita un poco de toque desde su $\xi$ depende de $n$.

Es probablemente más fácil para mostrar que sólo $x$ es de Cauchy: para $\varepsilon>0$, elija $k$$\|x-c_k\|_\infty<\varepsilon$, e $n_0$ tal que $\|c_k(m)-c_k(n)|<\varepsilon$ todos los $m,n>n_0$. Entonces $$ |x(m)-x(n)|\leq |x(m)-c_k(m)|+|c_k(m)-c_k(n)|+|c_k(n)-x(n)|\\\leq2\|x-c_k\|_\infty+|c_k(m)-c_k(n)| \leq3\varepsilon. $$

Answer 2

Cuidado con libro de mantenimiento que se necesita para una prueba como esta. Denotar por $c_n = (c_n^{(j)})_{j\in\mathbb{N}}$ un término genérico de una secuencia de elementos de $l^\infty$. Definir $c:=\{(x^{(j)})_{j\in\mathbb{N}}\in l^\infty ~|~ \exists \lim\limits_{j\rightarrow\infty} x^{(j)} \in \mathbb{C} \}$, un subespacio de $l^\infty$. Tenga en cuenta que los elementos de $c$ son precisamente las secuencias convergentes en $\mathbb{C}$ (ya que estos son automáticamente acotada). Para evitar confusiones, me voy a referir sólo a la convergencia en $\mathbb{C}$ usando la notación $\lim\limits_{j\rightarrow\infty}$.

Ahora supongamos que la secuencia de $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ de los elementos de $c$ tiene una sup-norma límite de $x$. Por integridad, como usted dijo, $x = (x^{(j)})_{j\in\mathbb{N}} \in l^\infty$, es decir, es un almacén de la secuencia de los números complejos, y por la definición de $l^\infty$-convergencia tenemos que $\|x_n-x\|_\infty\rightarrow 0$$n\rightarrow \infty$.

Para demostrar que $x \in c$ tenemos para mostrar que no es $\xi \in \mathbb{C}$ cual es el límite de $(x^{(j)})_{j\in\mathbb{N}}$, es decir, $\lim\limits_{j\rightarrow\infty} x^{(j)} = \xi \in \mathbb{C}$. El candidato obvio es el límite (si es que existe!) de la secuencia de $(\xi_n)_{n\in\mathbb{N}}$ donde $\xi_n:=\lim\limits_{j\rightarrow\infty} x_n^{(j)}$ existe en $\mathbb{C}$ por cada $n\in\mathbb{N}$ desde cada una de las $x_n$$c$.

Ahora, $|\xi_n - \xi_m| \leq |\xi_n - x_n^{(j)}| + \|x_n- x_m\|_\infty + |x_m^{(j)} - \xi_m| \rightarrow 0$ $m,n\rightarrow \infty$ (desde el lado izquierdo es independiente de la $j$ en el lado derecho, así que podemos aprovechar $j\rightarrow \infty$). El uso de la integridad de $\mathbb{C}$, hay un límite de $\xi = \lim\limits_{n\rightarrow\infty} \xi_n \in \mathbb{C}$.

A continuación, $|x^{(j)}-\xi| \leq \|x - x_n\|_\infty + |x_n^{(j)} - \xi_n| + |\xi_n - \xi|\rightarrow 0$$j\rightarrow \infty$, ya que de manera similar a la anterior, la LHS es independiente de $n$ en el lado derecho. La prueba está completa.

Answer 3

Para cualquier $\epsilon$ es cierto que $\|x-c_n\|\leq \epsilon$ $\|c_n\|\leq M$ algunos $M>0$(desde $c_n\in\ell_{\infty}$). Por lo tanto usted tiene $\|x\|_\infty\leq \epsilon+M$ (Elija $\epsilon=1$).