La longitud de una Costa

Question

Cuando B. Mandelbrot típico ejemplo de la medición de la longitud de una costa en la que se hace referencia, se menciona cómo en cada escala de la longitud aumenta. En las matemáticas puras, puedo imaginar que esta muy bien la iteración de la función va para siempre (infinitamente) y no hay restricciones para lo pequeño que puede obtener. Qué significan aumenta asintóticamente? La "verdad" de longitud, a continuación, ser el límite?

En la práctica, sería este factor de escala no estar tan bien definidos? Puede ser cierto que la costa es siempre llegar más dependiendo de cuán pequeño de una vara de medir que utilizan? Entiendo que estos temas son con frecuencia explicó a los no-matemáticos y mucha de la literatura disponible se orienta hacia ellos, pero que hace que sea más difícil de entender. Por favor utilice sin embargo avanzado del idioma que usted necesita para hacer que la discusión se precisa.

Answer 1

Tal vez el más guapo ejemplo de esto es el copo de nieve de Koch:

La iteración de hecho se van para siempre, pero no hay límite para la longitud de la curva! Si usted mira cuidadosamente, el copo de nieve del perímetro aumenta por un factor de $\frac{4}{3}$ cada iteración, por lo que tiende a infinito.

No creo que el tamaño de la vara de medición. Creo que en lugar de errores en la medición de la longitud; en cada escala de tamaño, usted tiene algunas "imprecisiones" en la medición de la curva. Como aumentar la precisión de la medición, "zoom", que con más precisión aproximada de la longitud de la curva y la longitud de esta rectificación, tienden a $\infty$.Aquí una foto de una precisión creciente iteración:

Para otros ejemplos de esto, ir a Google Maps, de inicio en órbita y poco a poco el zoom en algunas bonito pedazo de costa como el noroeste de la costa de Noruega. En la práctica, por supuesto, usted encontrará que cuando usted zoom lo suficientemente lejos, como objetos de costas dejar de mostrar comportamiento fractal, pero los fractales son todavía hermosa matemáticas.

Answer 2

No hay ningún límite asintótico a la longitud de un típico de la costa.

A escalas macroscópicas (hasta un metro o así), esto se puede verificar empíricamente, que es exactamente lo Mandelbrot hizo en su célebre papel de Cuánto Tiempo es la Costa de gran Bretaña.

A escalas microscópicas, el fenómeno persiste. Por supuesto, en la práctica, no es tan fácil de medir la longitud de una costa en la sub-escalas de milímetros $-$ el mar no quedarse quieto, por ejemplo. Así que para hacer las cosas más precisa, nos vamos a "congelar" el mar en un tiempo determinado, e imaginar la medición de la longitud de una playa de más y de forma más precisa. Se puede ver que en el límite, esto implicaría la inspección de cada grano de arena con un microscopio y siguiendo sus contornos más y más de cerca.

A nivel sub-atómico escalas, el problema desaparece, porque el límite entre húmedo del mar y la tierra seca deja de estar bien definidos. Pero esto no refutar el director.