Si $f(x) + f'(x) + f''(x) \to A$ $x \to \infty$, entonces mostrar que $f(x) \to A$ $x \to \infty$

Question

Este problema es una extensión para el problema más sencillo que se ocupa de la $f(x) + f'(x) \to A$ $x \to \infty$ (véase el problema 2 en mi blog).

Si $f$ es dos veces continuamente diferenciable en un intervalo $(a, \infty)$ $f(x) + f'(x) + f''(x) \to A$ $x \to \infty$ a continuación muestran que la $f(x) \to A$$x \to \infty$.

Sin embargo, el enfoque basado en la consideración de signo de $f'(x)$ grandes $x$ (que se aplica para el problema más sencillo en el blog) no parece aplicarse aquí. Consejos sobre este problema?

Creo que una similar en la generalización sobre la expresión de $\sum\limits_{k = 0}^{n}f^{(k)}(x) \to A$ también es cierto, pero no tengo ni idea de probar el resultado general.

Answer 1

Usted puede factorizar el polinomio $\lambda^2+\lambda+1 = (\lambda -c)(\lambda-\bar{c})$ (donde $c= (1+\sqrt{3}i)/2$ tiene parte real positiva) y, en consecuencia, el diferencial de operador $D^2+D+id= (D+c\ id)\circ (D+\bar{c}\ id)$. Entonces es suficiente para mostrar la siguiente afirmación: Si $c\in\mathbb C$ tiene parte real positiva, $g:(a,\infty)\to \mathbb C$ es continua con $g(x)\to A \in\mathbb C$ cada solución de $f$ $f'(x)+c f(x) =g(x)$ satisface $f(x)\to A/c$. (La aplicación de esta dos veces se obtiene lo que quieras desde la $c\ \bar c =|c|^2=1$.)

Para probar la afirmación de que sólo el uso de la fórmula para la solución general de una ecuación diferencial lineal: Para cada $x_0$ la única solución de con $f(x_0)$ es $$ f(x)= e^{-c(x-x_0)}(f(x_0)+\int_{x_0}^x e^{c(t-x_0)}g(t) dt).$$ Si $x_0$ es lo suficientemente grande puede reemplazar $g(t)$ $A$ y se puede obtener el deseado límite de $A/c$ mediante el cálculo de la integral (para hacer este preciso necesita que la parte real de la $c$ es estrictamente positivo).

---

Este método da también algo para polinomios de grado superior, mientras que las raíces se han estrictamente positivo de piezas reales. En Daniel Fisher ejemplo, usted tiene una raíz $-1$.

Answer 2

La idea de la respuesta de Jochen proporciona lo siguiente:

Generalización. Que $p(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0$ y asumir que todas las raíces de $p$ tienen partes reales negativas (lo que implica que el $a_0\ne 0$). Si $f: (b,\infty)\to\mathbb C$ $n$ veces diferenciables y $$ \lim_{t\to\infty} f^{(n)}(t)+a_{n-1}f^{(n-1)} (t) + \cdots + a_0 f (t) = A, y luego $$ $$ \lim_{t\to\infty}f (t) = \frac {A} {a_0}. $$