Si n personas eligen aleatoriamente un sombrero de entre $n$ sombreros, ¿por qué es la probabilidad de una coincidencia $1/n$? ¿Qué pasa con el orden de los sombreros anteriores?

Question

Para un problema de coincidencia estándar

Hay $n$ personas con sombreros en una fiesta.
Cada persona coge un sombrero al azar.
Ocurre una coincidencia si una persona coge su propio sombrero.

Define el número de coincidencias $N$ como $$ N=\sum_{k=1}^n X_k, $$ donde $X_k$ es la función indicadora $$ X_k= I\{\text{persona } k\text{ coge su propio sombrero}\}. $$ ¿Por qué $$ P(X_k=1)=\frac{1}{n}? $$

Espero que $P(X_k=1)$ dependa del orden, así que no entiendo por qué $P(X_k=1)$ se simplifica a $1/n$.

Answer 1

Esta es una malentendido conceptual estándar. ¿Cuál es la probabilidad de que la segunda persona obtenga el sombrero correcto? Muchas personas responden instantáneamente que depende de si la primera persona obtuvo el sombrero correcto. Esa es la respuesta correcta a la pregunta incorrecta.

La probabilidad condicional de que la segunda persona obtenga el sombrero correcto dado que la primera persona obtuvo el sombrero correcto, o que la primera persona obtuvo el sombrero incorrecto, depende de si la primera persona obtuvo o no el sombrero correcto.

Pero esa es la pregunta incorrecta. ¿Cuál es la probabilidad de que la segunda persona obtenga el sombrero correcto, sin ninguna información sobre el destino de la primera persona? Es $1/n$ porque hay $n$ sombreros y ninguno es más probable que otro de ser el que esa persona obtiene.

Pero si insistes en pensar en esas probabilidades condicionales, así es como se hace:

\begin{align} & \Pr(\text{2º correcto}) = \Pr(\text{(1º correcto y 2º correcto) o (1º incorrecto y 2º correcto)}) \\[10pt] = {} & \Pr(\text{1º correcto})\Pr(\text{2º correcto}\mid\text{1º correcto}) \\ & {} + \Pr(\text{1º incorrecto y obtuvo el sombrero del 2º}) \cdot \Pr(\text{2º correcto}\mid\text{1º incorrecto y obtuvo el sombrero del 2º}) \\ & {} + \Pr(\text{1º incorrecto y no obtuvo el sombrero del 2º}) \cdot\Pr(\text{2º correcto} \mid \text{1º incorrecto y $\cdots$ [etc.]}) \\[10pt] = {} & \left(\frac1n\cdot\frac1{n-1}\right) + \left(\frac 1 n \cdot 0\right) + \left( \frac{n-2}n \cdot \frac1{n-1} \right) \\[10pt] = {} & \frac 1 n. \end{align}

Answer 2

Porque hay $n!$ formas diferentes de ordenar los sombreros, y $(n-1)!$ maneras de distribuir los sombreros para que la persona $k$ obtenga su propio sombrero, la probabilidad de que la persona $k$ obtenga su propio sombrero es $$\frac{(n-1)!}{n!}=\frac{1}{n}$$

Tu intuición refleja el hecho de que dos $X_i$ y $X_j$ no son variables independientes. Esa es una intuición útil, pero no afecta las probabilidades de que la persona $k$ obtenga su sombrero.

Como alternativa, digamos que estás viendo $P(X_2=1)$ y la persona $1$ elige un sombrero primero.

La probabilidad de que la persona $1$ haya elegido el sombrero de la persona $2$ es $\frac{1}{n}$. Entonces la probabilidad de que la persona $2$ elija su sombrero entre el resto es la probabilidad de que la persona $1$ no haya elegido ese sombrero, multiplicado por la probabilidad de que la persona $2$ elija el sombrero de los restantes $n-1$ sombreros. Eso es:

$$\begin{align}P(X_2=1)= {} &P(\text{la persona 1 no eligió el sombrero 2})\times\\ &P(\text{la persona 2 elige el sombrero 2 de los restantes }n-1\text{ sombreros})\\ ={}&\left(1-\frac{1}{n}\right)\frac{1}{n-1} = \frac{1}{n} \end{align}$$

Answer 3

La persona $k$ tiene la misma probabilidad de agarrar cualquiera de los $n$ sombreros, por lo que agarra el sombrero $i$ con una probabilidad de $\frac1n$ para $i=1,\dots,n$. En particular, agarra el sombrero $k$ con una probabilidad de $\frac1n$.

Si eso no es convincente, hay $n!$ posibles permutaciones de los sombreros entre las personas, y $(n-1)!$ de esas permutaciones tienen a la persona $k$ recibiendo su propio sombrero. Las $n!$ permutaciones tienen la misma probabilidad, por lo que

$$P(X_k=1)=\frac{(n-1)!}{n!}=\frac1n\;.$$