El espacio de $C_b(\mathbb{R})$ es completa

Question

Deje $C_b(\mathbb{R})$ser el espacio de todos los delimitada funciones continuas en $\mathbb{R}$, normativa con $$\|f\|= \sup_{x\in \mathbb{R}}|f(x)|$$ Mostrar que este espacio es completo.

Completa significa que todas las secuencias de Cauchy converge. Así que si tenemos una secuencia de Cauchy $(f_n)$, definir $f(x) = \lim_{n \rightarrow \infty} f_n(x)$, mucho espectáculo que $f\in C_b(\mathbb{R})$ $\|f - f_n\| \leq \epsilon.$

¿Cómo puedo proceder? Si me tome $f(x) = f_n(x) + (f(x) - f_n(x))$ y muestran que el último paréntesis va demasiado cero? Pero luego termino con $$|\lim_{m \rightarrow \infty} f_m(x) - f_n(x)|$$

¿cómo puedo continuar a partir de aquí? el movimiento del limones? es eso posible? ¿una razón?

Answer 1

Boceto (para un análisis más general de resultado):

Paso 1: Probar que $\ell_\infty(X)$, el conjunto de los delimitadas las funciones en $X$, es muy completa para cualquier conjunto $X$. Boceto/Sugerencia: Uniformemente de cauchy implica pointwise de cauchy que implica pointwise convergente. A continuación, mostrar que la pointwise límite está acotada. A continuación, mostrar que el uniforme límite existe y es igual a la pointwise uno.

Paso 2: Probar que si $X$ es un espacio métrico (o más generalmente un topológico de Hausdorff espacio) y si $(f_n)$ es una secuencia de funciones en $\ell_\infty(X)$ con cada una de las $f_n$ continua en $x_0 \in X$ tal que $f_n$ converge uniformemente a una función $f$, $f$ es continua en a $x_0$.

Paso 3: a la Conclusión de que $C_b(X)$ es cerrado en $\ell_\infty(X)$ y por lo tanto es completa.

Answer 2

Thomas ya mostró cómo hacer el acotamiento.

Yo me encargaré de que $f_n$ realidad converge uniformemente.

Primer aviso de que $(f_n(x))_n$ es una secuencia de cauchy en $\mathbb{R}$, debido al hecho de que $f_n$ es de cauchy con respecto a la sup de la norma. Se puede demostrar esto a ti mismo? Por lo tanto el punto sabio límite existe. Deje $f(x) = \lim_{n\rightarrow \infty} f_n(x)$

Ahora vamos a $\epsilon > 0$ y deje $x \in \mathbb{R}$. Entonces tenemos \begin{align*} \lVert f(x) - f_n(x) \rVert &= \lim_{m\rightarrow \infty} \lVert f_m(x) -f_n(x)\rVert \tag{continuity of %#%#%}\\ &< \epsilon \tag{*} \end{align*}

(*) Este es el caso si tomamos $\lVert \cdot \rVert$ tal que $N$, $\forall m,n\geq N: \lVert f_m(x) - f_n(x) \rVert \leq \epsilon$ existe debido al hecho de que $N$ cauchy es con respecto a la sup de la norma. Así que una vez $f_n$ es mayor que $m$, la norma es menor que $N$.

Puede mostrar a ti mismo que $\epsilon$ es continua, esto se deduce del hecho de que $f$ uniformemente.

Answer 3

Supongamos $f_n\rightarrow f$ donde $f_n\in C_b(\mathbb{R})$. Si $n$ es demasiado grande, usted puede encontrar $\epsilon>0$ tal que $$|f(x)-f_n(x)|<\epsilon,\ \forall\ x\in\mathbb{R}$$

Esto implica que $|f(x)|<|f_n(x)|+\epsilon$. Por lo tanto,$f\in C_b$.