En la mayoría de las definiciones de la geodésica, se requiere que sea una curva regular, es decir, una curva suave que satisfaga que el vector tangente a lo largo de la curva no sea 0 en todas partes. No sé por qué.
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Paul
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Supongamos que $\gamma:[a,b]\to M$ sea una curva suave en una variedad riemanniana $M$ con la métrica de Riemann $\langle\cdot,\cdot\rangle$ . Entonces tenemos $$\tag{1}\frac{d}{dt}\langle\frac{d\gamma}{dt},\frac{d\gamma}{dt}\rangle=\langle\frac{D}{dt}\frac{d\gamma}{dt},\frac{d\gamma}{dt}\rangle+\langle\frac{d\gamma}{dt},\frac{D}{dt}\frac{d\gamma}{dt}\rangle$$ donde $\frac{D}{dt}$ es la derivada covariante a lo largo de la curvatura $\gamma$ . Por definición, $\gamma$ es geodésica si y sólo si $\frac{D}{dt}\frac{d\gamma}{dt}=0$ para todos $t\in[a,b]$ , lo que implica, junto con $(1)$ que $$\frac{d}{dt}\langle\frac{d\gamma}{dt},\frac{d\gamma}{dt}\rangle=0\mbox{ for all }t\in[a,b],$$ lo que implica que la función $\langle\frac{d\gamma}{dt},\frac{d\gamma}{dt}\rangle$ es constante, es decir $$\langle\frac{d\gamma}{dt},\frac{d\gamma}{dt}\rangle=C$$ para alguna constante $C$ .
Así, si $C\neq 0$ entonces, por definición $\gamma$ es una curva regular. Y si $C=0$ tenemos $\langle\frac{d\gamma}{dt},\frac{d\gamma}{dt}\rangle= 0$ , o de forma equivalente, $\frac{d\gamma}{dt}=0$ para todos $t\in[a,b]$ , lo que implica $\gamma(t)=p$ para todos $t\in[a,b]$ para algún punto $p\in M$ es decir $\gamma$ degenera en un punto en $M$ . Por lo tanto, si $\gamma$ es una geodésica no trivial en el sentido de que no degenera en un punto, $\gamma$ debe ser una curva regular.
