¿por qué una geodésica es una curva regular?

Question

En la mayoría de las definiciones de la geodésica, se requiere que sea una curva regular, es decir, una curva suave que satisfaga que el vector tangente a lo largo de la curva no sea 0 en todas partes. No sé por qué.

Answer 1

Supongamos que $\gamma:[a,b]\to M$ sea una curva suave en una variedad riemanniana $M$ con la métrica de Riemann $\langle\cdot,\cdot\rangle$ . Entonces tenemos $$\tag{1}\frac{d}{dt}\langle\frac{d\gamma}{dt},\frac{d\gamma}{dt}\rangle=\langle\frac{D}{dt}\frac{d\gamma}{dt},\frac{d\gamma}{dt}\rangle+\langle\frac{d\gamma}{dt},\frac{D}{dt}\frac{d\gamma}{dt}\rangle$$ donde $\frac{D}{dt}$ es la derivada covariante a lo largo de la curvatura $\gamma$ . Por definición, $\gamma$ es geodésica si y sólo si $\frac{D}{dt}\frac{d\gamma}{dt}=0$ para todos $t\in[a,b]$ , lo que implica, junto con $(1)$ que $$\frac{d}{dt}\langle\frac{d\gamma}{dt},\frac{d\gamma}{dt}\rangle=0\mbox{ for all }t\in[a,b],$$ lo que implica que la función $\langle\frac{d\gamma}{dt},\frac{d\gamma}{dt}\rangle$ es constante, es decir $$\langle\frac{d\gamma}{dt},\frac{d\gamma}{dt}\rangle=C$$ para alguna constante $C$ .

Así, si $C\neq 0$ entonces, por definición $\gamma$ es una curva regular. Y si $C=0$ tenemos $\langle\frac{d\gamma}{dt},\frac{d\gamma}{dt}\rangle= 0$ , o de forma equivalente, $\frac{d\gamma}{dt}=0$ para todos $t\in[a,b]$ , lo que implica $\gamma(t)=p$ para todos $t\in[a,b]$ para algún punto $p\in M$ es decir $\gamma$ degenera en un punto en $M$ . Por lo tanto, si $\gamma$ es una geodésica no trivial en el sentido de que no degenera en un punto, $\gamma$ debe ser una curva regular.