Es el estimador de máxima verosimilitud siempre suficiente estadística?

Question

He aquí un ejemplo de lo que yo estoy pidiendo :

$X_1,\ldots,X_n $ i.yo.d $N(\phi , 1)$ donde $\phi \in \mathbb{R}$. Deje $\gamma = P(X_1\leq 1)$.

Dar suficiente estadística de $\gamma$.

Esta pregunta es parte de un examen de mitad de período tomé en abril.

Veo que $\gamma_{m\ell} = \Phi(1 - \phi_{m\ell}))$ donde $\Phi$ es la función de distribución normal estándar. Sé que en este caso, $\phi_{m\ell} = n^{-1}\sum(X_i^2)$ que es una estadística suficiente. Eso hace que $\gamma_{m\ell}$ uno también ?

Gracias por sus respuestas.

Answer 1

Varios puntos de confusión en esta pregunta:

• La línea de asunto dice: "Es el estimador de máxima verosimilitud siempre suficiente estadística?". Que daría la impresión de que eso es lo que trata esta cuestión. La respuesta corta es "no". Más sobre esto a continuación . . .

• El dice: "he Aquí un ejemplo de lo que yo estoy pidiendo :" y, a continuación, se presenta el siguiente problema:
  $X_1,\ldots,X_n $ i.yo.d $N(\varphi , 1)$ donde $\varphi \in \mathbb{R}$. Deje $\gamma = P(X_1\leq 1)$.
  Dar suficiente estadística de $\gamma$.
  Para el planteamiento de que la pregunta por el pensamiento acerca de la Emv podría tener sentido si el MLE siempre fueron suficientes estadística. Sin embargo, es fácil mostrar que $X_1+\cdots+X_n$ es suficiente para $\gamma$ sin entrar en eso. Me respondió que la pregunta de hoy, aquí. Me examinó brevemente el cierre de esta cuestión como un duplicado de eso.

Siguiendo con el comentario de "spaceisdarkgreen": La siguiente respuesta se ocupa de un caso en el que el MLE no es suficiente estadística:

https://stats.stackexchange.com/questions/174117/maximum-likelihood-estimator-of-location-parameter-of-cauchy-distribution

Que respuesta da un método numérico para encontrar el MLE. ¿Cómo sabemos que no es suficiente la estadística? De que se trata en Bernard Lindgren la Teoría Estadística, 4ª edición, y ahora no la puedo encontrar, con la ayuda del índice. En una ocasión le dije a la autora de ese libro que no lo pude encontrar, y señaló que se encuentra, y he olvidado, así que sin duda esta es una deficiencia en el índice. Murió poco después de eso, así que no voy a ser capaz de preguntarle de nuevo. Sin embargo, es común encontrar que, según afirmaba, incluso si raro que se demostró, que el conjunto completo de todas las $n$ estadísticas de orden a partir de una muestra de tamaño $n$ es el más áspero que se puede obtener con la de Cauchy de la familia. Para cualquier i.yo.d. de la muestra, el conjunto completo de estadísticas de orden es suficiente, pero para muchos no es mínima. Para esto es mínimo. Así que este es un caso en el que el MLE no es suficiente estadística. Creo que hay más simples ejemplos, pero no lo tengo en la punta de mi lengua. Romano & Siegel libro Contraejemplos en Probabilidad y Estadística puede tener uno.