Herstein Definición: En el anillo Euclidiano $R$, un nonunit $\pi$ se dice que es un primer elemento de $R$ si siempre $\pi=ab$ donde $a,b \in R$, entonces uno de $a$ o $b$ es una unidad en R.
$\mathbb Q$ es un campo y, por tanto, un anillo Euclidiano. En $\mathbb Q$ cada elemento con la excepción de $0$ es una unidad. Así que no hay elementos principales en $\mathbb Q$?
La verdad que sí, no Hay elementos principales en $\mathbb Q$.
Cada elemento en $\mathbb Q$ es divisible por otro elemento en $\mathbb Q$
Pensar acerca de cualquier elemento en $\mathbb Q$.
Por ejemplo, $3 \in \mathbb Q$ no es primo porque tenemos ese $\frac{1}{3} \times {9} = 3$
En general, un elemento $\alpha \in \mathbb Q$ es en forma de $\frac{a}{b}$ donde $a,b$ son ambos enteros y $b \neq 0$.
Ahora$\frac{1}{b} \in \mathbb Q$$a \in \mathbb Q$$\frac{1}{b} \times a = \frac{a}{b}$, por lo que no se puede tener un primer elemento en $\mathbb Q$
Sin embargo, Esa definición es en realidad la definición de un elemento irreductible. Sin embargo, a veces irreductibilidad implica el primer y en un dominio euclídeo, es cierto, porque un dominio euclídeo es también una única factorización de dominio.
Sin embargo, En general integral de dominio, Irreductible, no implica que se prime.
La definición de un primer elemento es la siguiente.
$p$ se dice que para ser un primer elemento , si $p$ es positivo no elemento unidad y si $p \mid ab$ $p \mid a$ o $p \mid b$
Ahora, para dar un ejemplo, donde hay una irreductible elemento que no es primo.
Considere la integral de dominio $\sqrt{-5}$
Ahora $2$ es una irreductible elemento que divide el producto $(1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5}) = 6$.
Sin embargo $2$ no divide a alguno de los factores y por lo tanto no es primo.
Sí, es correcto: $\mathbb{Q}$ no tiene elementos principales, además de a $0$ (e $0$ puede o no puede ser un primo, dependiendo de sus convenciones). Esto no debería ser demasiado sorprendente, sin embargo. Elementos principales de generar primer ideales. Pero desde $\mathbb{Q}$ es un campo, sólo que los ideales se $(0)$$\mathbb{Q}$.
Por el camino, su definición de un primer elemento no estándar. La definición que he afirmado es que por lo general de un elemento irreductible. El artículo vinculado específicamente se explica la diferencia entre los dos.
Sí no hay números primos en un campo. $5$ es una de las principales en $\mathbb{Z}$, pero no en $\mathbb{Q}$
Más generalmente, si usted tiene dos anillos de $A\subset B$, siendo un primer en $A$ no implica ser un primer en $B$. Como ejemplo tomemos $\mathbb{Z}\subset \mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$. Luego tenemos a $3$ es una de las principales en $\mathbb{Z}$ mientras $3=(1+\sqrt{-2})(1-\sqrt{-2})$ no es un primo en $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$
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