Demostrar un secuencialmente compacto métrica del espacio es limitado.

Question

Demostrar que si el espacio métrico $(X, d)$ es secuencialmente compacto, que existe puntos de $x_0$ $y_0$ pertenecientes a $X$ tales que;

$$d(x, y) \leq d(x_0, y_0)$$ for every $x$ and $s$ belonging to $X$.

Puedo ver que vamos a necesitar para el uso de secuencias con $x_0$ $y_0$ como límites, pero no estoy seguro de cómo probar esto para todos los casos?

Answer 1

Supongamos $X$ es no acotada. Fix $x\in X.$

Reclamo: La colección de $d(x,y),~y\in X$ es no acotada. Si fueron delimitadas por algunos $C,$, entonces para cualquier $y,z\in X$ tendríamos

\begin{equation*} d(y,z)\leq d(y,x)+d(x,z)\leq 2C \end{ecuación*}

lo cual es una contradicción. Desde la definición de compacidad secuencial de las necesidades de cada secuencia infinita de tener un convergentes larga, pick $x_n\in X,~d(x,x_n)>n.$ El resultado sequene no es de Cauchy, ya que para cualquier $n,$ el conjunto $d(x_m,x_n)$ $m$ es no acotada. Por lo tanto, $\exists m>n$ tal que $d(x_m,x_n)>1.$