Las coordenadas y la distancia en las dimensiones superiores del esférico y espacio hiperbólico

Question

Por la n-dimensional espacio esférico, a mí me parece la representación de puntos es más fácil y más manipulables como unidad de vectores, con la distancia de ser el producto escalar de vectores (que es el coseno del ángulo entre los dos vectores).

Hay un análogo de coordinar la representación de la n-dimensional espacio hiperbólico? Y con una del mismo modo simple distancia métrica? Estoy esperando algo como un $n$- o $(n+1)$-tupla, donde la función de distancia no tratar ninguna función en particular, especialmente. De hecho sería genial si hubo un parámetro de $k$ para la curvatura de una función de distancia que se diferencian entre el esférico, la euclídea y hiperbólico y trabajo para cualquier dimensión. Pero si hay otros, por la n-dimensional, eso sería genial.

Answer 1

Me imagino que lo que quieres es el medio hyperboloid modelo en $\mathbf R^{n+1}$ con la métrica de Lorentz. Así, el conjunto es $x_{n+1} >0$ en $$ x_1^2 + x_2^2 + \ldots + x_n^2 - x_{n+1}^2 = -1.$$ There is a useful distinguished North Pole at $(0,0,0,\ldots,0,1).$ Geodesics, at unit speed, going through the North Pole are rotations of $$(\sinh t,0,0,\ldots,0,\cosh t). $$ Indeed, all isometries preserve the ambient metric. Let's see, all geodesics are the intersection of a 2-plane passing through the origin with the hyperboloid. As a result, there is a isometry to the Beltrami-Klein model given by central projection around the origin, to the $n$-ball $$x_{n+1} =1, \; \; x_1^2 + x_2^2 + \ldots + x_n^2 < 1. $$ Finally, an isometry of Beltrami-Klein to the Poincare $n$-ball model is given by vertical projection to the lower hemisphere of the ordinary $n$-sphere in $\mathbf R^{n+1}$ followed by stereographic projection around the North Pole to the Poincare $n$-ball $$x_{n+1} =0, \; \; x_1^2 + x_2^2 + \ldots + x_n^2 < 1. $$ El diagrama de algunos de estos mapas es la página 255, figura 246 de Hilbert y Cohn-Vossen, la Geometría y la Imaginación. Sin embargo, Hilbert hace que el disco que contiene el final de Poincaré modelo de radio 2, he alterado un poco las cosas para conseguir radio 1.

Esto debería estar en Spivak los cinco tomos del libro.

Answer 2

No hay nada tan simple como el ejemplo de espacio hiperbólico, porque el ejemplo se basa en la incrustación de la $n$-esfera en Euclidiana $n+1$-espacio, y no tan suave isométrica de la inclusión es posible para el espacio hiperbólico.

El más cercano a lo que estás preguntando podría ser la utilización de $n$ coordenadas $x, y, \ldots, z$ con una métrica dada por $$d\sigma^2 = \frac{dx^2+dy^2+\cdots+dz^2}{(1+\frac{k}{4}(x^2+y^2+\cdots+z^2))^2}$$ donde la variable $k$ puede producir el espacio Euclidiano para$k=0$, $n$- esfera menos un punto (a través de la proyección estereográfica) por $k>0$, y el espacio hiperbólico para $k<0$ $x^2+y^2+\cdots+z^2<4/k$ (lo que produce el $n$-dimensiones análogo de la Poincaré modelo de disco). En cada uno de los casos, el denominador sólo depende de que punto estamos, y el espacio de la tangente en cualquier punto es un simple uniforme de la escala de distancia de las coordenadas del espacio de la tangente.