Pregunta de MAGMA: SemidirectProduct con un homomorfismo de $f:G \rightarrow GL_n(\mathbb{F}_p)$.

Question

Supongamos que tengo un homomorphism $f:G\rightarrow GL_n(\mathbb{F}_p)$ y deseo formar el semidirect producto $E\rtimes_f G$ $E$ la primaria abelian grupo de orden $p^n$.

El Semidirect producto de comandos en el Magma toma argumentos Semidirect(K,H,f):Grp, Grp, Map -> Grp para producir el semidirect producto $K\rtimes_f H$ como un objeto de grupo. Aquí f es un homorphism de H a AutK, donde AutK es el Automorphism grupo de K, se formó (supongo) por AutomorphismGroup(K).

En Magma, me GLnp := GL(n,p); y hacer $f$ f := hom< G -> GLnp | ... >; y $E$ E := AbelianGroup([p:i in [1..n]]);. Entonces hago AutE := AutomorphismGroup(E);. Así que ahora el problema es tomar ese f y convertirlo en un homomorphism de G a AutE así que lo puedo usar con SemidirectProduct.

La manera natural en que pensé en hacer esto fue la construcción de un isomorfismo g de GLnp a AutE, a continuación, ajuste phi := g*f; y formando SemidirectProduct(E,G,phi);. Me parece la GrpAuto clase bastante difícil trabajar con él, pero se las arregló para hacer esto en un hack-y de la forma, cuando yo tenía $n=3$$p=2$. Sin embargo, cuando luego traté de utilizar el mismo método para formar el grupo que yo realmente quería, para que $n=10$$p=23$, el isomorfismo de g de GLnp a AutE explotó, supongo que debido a que el Magma intenta tomar el producto cartesiano de dos conjuntos y, a continuación, forman el mapa como un subconjunto (o algo así). He intentado un par de otras formas de constitución de g, y algunos trabajó en un primer momento, pero luego explotó cuando solía SemidirectProduct(E,G,phi);.

Mi $G$ aquí sólo tiene el fin de $2640$ y el Magma maneja $E$ bien por sí mismo, por lo que parece como una permutación de grupo en la escala de la $E \rtimes_f G$ debe encontrarse dentro de los límites computacionales de Magma. (He hecho permutación de grupos en torno a que el tamaño de antes!!!) El problema es encontrar un camino alrededor de cualquier cosa que el Magma está haciendo y que está costando tanto de la memoria.

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Así que tengo tres preguntas sobre este tema.

Estoy equivocado? Es lo que yo quiero hacer, simplemente, fuera de los límites computacionales de Magma?

En general,

¿Cuál es la mejor manera de hacer un homomorphism en un GrpAuto objeto de una GrpMat objeto?

y, lo más importante de todo,

¿Cómo puedo formulario de $E\rtimes_f G$ en el Magma dado un homomorphism $f:G\rightarrow GL_n(\mathbb{F}_p)$, da como un mapa f de GrpPC : G a GL(n, GF(p))?

Answer 1

Hasta donde yo sé, el Magma no cuenta con instalaciones para la computación con semidirect productos con elementos representados por pares ordenados, de manera que se necesitan para la construcción de algún tipo de representación de la semidirect producto, y por defecto que se intenta construir una permutación de la representación. Creo que el problema aquí es, probablemente, que el Magma se intenta construir una permutación representación de ${\rm GL}(10,23)$ primero, y se producirá un error abismal!

Por lo que dices, suena como si $G$ es una solución de grupo. Si usted tiene una PC-presentación de $G$ y usted sabe que las matrices definición de la acción de la PC-generadores de $G$$E$, entonces debe ser moderadamente sencillo escribir un PC-presentación de la semidirect producto, y de esta manera construir directamente como un PC-grupo, así que ¿por qué no hacerlo de esa manera?

Sería más difícil si $G$ no era solucionable. Mi inclinación, a continuación, sería definir el semidirect producto como un subgrupo de un máximo parabólico subgrupo de ${\rm GL}(11,23)$. Entonces, al menos, tener una representación concreta del grupo como un grupo de matrices, por lo que habría alguna posibilidad de llevar a cabo los cálculos dentro de ella.