Sheafification: Mostrar que$\tilde{\mathscr{F}_x}=\mathscr{F}_x$.

Question

A mi la pregunta de hoy es acerca de una prueba de este libro. Más precisamente estamos hablando de la prueba de la Proposición. 2.24 en la página 52. El libro dice que tenemos $\tilde{\mathscr{F}_x}=\mathscr{F}_x$ todos los $x\in X$. Traté de verificar que sino el despliegue de la definición de los elementos de $\tilde{\mathscr{F}_x}$ es muy técnico. Así que me quedé atrapado. Además, no puede ser que significaba, literalmente, debido a que los elementos de $\tilde{\mathscr{F}_x}$ $\mathscr{F}_x$ no son del mismo tipo, por así decirlo. Entonces, lo que significa que la igualdad?

Aquí mi enfoque para desarrollar la definición de los elementos de $\tilde{\mathscr{F}_x}$:

Un elemento de $\tilde{\mathscr{F}_x}$ es la clase de equivalencia de un par de $(U,(s_y)_{y\in U})$$x\in U$. Cada par $(U',(s'_y)_{y\in U'})$ es equivalente a $(U,(s_y)_{y\in U})$ fib hay un $V\subseteq U\cap U'$$x\in V$$(s_y)_{y\in U}|_V=(s'_y)_{y\in U'}|_V$. Por definición de la restricción que significa para todos los $y\in V$ tenemos $s_y=s'_y$. Ahora la igualdad de $s_y=s'_y$ podría ser en sí misma se despliegue en una manera similar desde $s_y$ es de nuevo una clase de equivalencia de pares.

Es correcto lo que he hecho hasta ahora y no me ayudan a mostrar $\tilde{\mathscr{F}_x}=\mathscr{F}_x$?

Answer 1

No estoy seguro de si esto es lo que está recibiendo pero si tiene $$s_x\in \mathcal{F}_x=\lim\mathcal{F}(U)$$ then there is some $U$ and $t \ in \ mathcal {F} (U)$ such that $t$ restricts to $s_x$. So the equivalalence class of the germ $U, (t_y)$ about the point $x$ will be $s_x$.