Una pregunta bastante extraña sobre la medida

Question

Esta extraña pregunta se me acaba de ocurrir, que digamos $E\subset[0,1]$ y $mE=1$ ¿implica el cierre $\overline E=[0,1]$ ? ¿O hay un conjunto propio cerrado en $[0,1]$ que tiene medida $1$ ? En ese caso la eliminación de un punto límite satisfará mi pregunta. Parece fácil, pero no puedo encontrar un ejemplo ....

Answer 1

Tenga en cuenta que si $A \subset [0,1]$ es cerrado de medida 1, entonces su complemento es abierto de medida cero. Es evidente que cualquier conjunto abierto no vacío tiene medida distinta de cero, por lo que $A$ debe haber sido $[0,1]$ .