Si $U_1,\dots, U_n$ es independiente variables al azar uniforme con rango ${1,\dots,N}$, ¿qué puede decirse de la distribución de los $Z=\max U_i$? Estoy interesado en el caso de grandes $n$ y $N\geq n$.
En particular, estoy interesado en límites de cola $Z$. Es decir cómo firmemente concentrada alrededor de su media $\mathbb{E}(Z)$.
No se ha dicho explícitamente que el $U_i$ son independientes. Asumimos que son.
Deje $1\le z\le N$. La probabilidad de que $Z\le z$ es la probabilidad de todas las $U_i$$\le z$. Esto es $\left(\frac{z}{N}\right)^n$. Así las expresiones para (izquierda y derecha) de la cola probabilidades son bastante simples.
La función de distribución de $Z$ fácilmente de la siguiente manera. Tenemos $Z=z$ fib $Z\le z$, y no es el caso que $Z\le z-1$. Esto ha probabilidad de $\left(\frac{z}{N}\right)^n-\left(\frac{z-1}{N}\right)^n$.
Añadido: En los comentarios, se nos pregunta acerca de asintótico de las estimaciones de la media y la varianza. Deje $F(z)=(z/N)^n$. A continuación, la media es $$1(F(1)-F(0))+2(F(2)-F(1))+3(F(3)-F(2))+\cdots +N(F(N)-F(N-1)).$$ Hay un montón de cancelación. Desde $F(0)=0$, nos encontramos con que $E(Z)=F(1)+F(2)+F(3)+\cdots +F(N)$. De ello se sigue que $$E(Z)=\frac{1^n+2^n+3^n +\cdots+N^n}{N^n}.$$ Mientras que, para la renta fija $n$, complicadas formas cerradas están disponibles para el numerador arriba, podría ser más simple el uso de estimaciones. Una primera estimación es reemplazar la variable aleatoria $Z$ por la variable aleatoria $W$, lo que ha continua de la distribución uniforme en $[0,N]$. La probabilidad de que $W\le w$,$0\le w\le N$, igual a $\frac{w^n}{N^n}$. La función de densidad es $\frac{nw^{n-1}}{N^n}$ en nuestro intervalo, por lo que la media de $W$$\frac{nN}{n+1}$.
La varianza de la continua analógica es una útil aproximación a la varianza de la $Z$. Tenemos $E(W^2)=\frac{nN^2}{n+2}$, e $\text{Var}(W)=E(W^2)-(E(W))^2$.
Si usted está interesado en los resultados para los gran$n$, pero con $n\le N,$ me gustaría, en primer lugar considerar la variable $Z/N.$ Esto converge en distribución como $N\to \infty.$ Porque: Vamos a $X_n$ ser el máximo de $n$ iid Uniformes$(0,1)$ $P(X_n \le x)=x^n.$ $P(Z/N\le x)=P(Z\le Nx)=\left(\lfloor Nx \rfloor /N \right)^u\to x^n.$
Ahora que estamos en el Uniforme(0,1), es fácil calcular la media y la desviación estándar de $X_n:$ $$ \mu_n=\frac n{n+1}, \sigma_n=\frac 1{n+1}\sqrt\frac n{n+2}.$$
Ahora podemos mostrar a $(X_n-\mu_n)/\sigma_n$ converge en distribución:
$$P[(X_n-\mu_n)/\sigma_n \le x] =(x\sigma_n+\mu_n)^n =\left( 1+\frac {x\sqrt {(n/(n+2)} -1}{n+1} \right)^n\to e^{x-1}$$
como $n\to \infty$$x \le 1.$, por Lo que para un asintótica consecuencia, considerar la probabilidad de que $X_n$ entre $\mu_n-\sigma_n$ $\mu_n+\sigma_n$ Esto puede ser aproximada por cualquier $n$ lo suficientemente grande como $e^{1-1} - e^{-1-1}=0.86 $
También podemos utilizar otras secuencias de normas constantes. Desde $X_n \le 1$ y converge a y $\sigma_n \sim 1/n$ podemos tratar $n(X_n-1).$ Es fácil demostrar esto converge a $e^x $ $x \le 0. $
El estudio de la distribución de los max de iid r.v. se llama Teoría de valores Extremos. Que los modelos de los eventos extremos, como una inundación de 100 años. También se utiliza en la Teoría de la Fiabilidad ya que la vida útil de $n$ componentes conectados en paralelo está dada por el max.
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