Infinitos planetas en una línea, con gravedad newtoniana

Question

(Pido disculpas si esta pregunta es demasiado teórica para este sitio).

Esto está relacionado con la respuesta aquí aunque se me ocurrió independientemente de eso. $\:$ Supongamos que
tienen un planeta de masa unitaria en cada punto entero del espacio 1-d. $\:$ Como se describe en esa respuesta, la suma
de las fuerzas que actúan sobre cualquier planeta en particular es absolutamente convergente. $\;\;$ Supongamos que movemos el planeta_0
para señalar $\epsilon$ , donde $\: 0< \epsilon< \frac12 \:$ . $\;\;$ Por razones similares, esas sumas seguirán siendo absolutamente convergentes.
Ahora dejamos que se aplique la gravedad newtoniana. $\:$ ¿Qué pasará?

Si no está claro cómo podría ser una respuesta, podría considerar las siguientes preguntas más específicas:

El planeta_0 comenzará moviéndose hacia la derecha, y todos los demás planetas comenzarán a moverse hacia la izquierda.
¿Habrá una cantidad positiva de tiempo antes de que alguno de ellos se dé la vuelta?
(A diferencia de, por ejemplo, cada planeta_n para $\: n\neq 0 \:$ que se da la vuelta en el tiempo 1/|n|.)

¿Habrá un tiempo positivo antes de que se produzca una colisión?

"Obviamente" (al menos, espero estar en lo cierto), el planeta_0 colisionará con el planeta_1. $\:$ ¿Será la primera colisión?

¿Cuánto tiempo pasará antes de que haya colisiones? $\:\:$ (tal vez sólo una aproximación para pequeños $\:\epsilon\:$ )

Answer 1

La respuesta de Lumo es buena. La aceptaría. Sólo porque estoy aburrido y es fácil aquí hay una simulación numérica de 31 planetas (un infinito de los pobres), colocados inicialmente en reposo en los enteros, excepto que el cuerpo central está desplazado hacia arriba en 0,1:

Nótese que, por supuesto, los cuerpos exteriores caen hacia el centro, ya que aquí sólo hay un número finito de planetas. Los planetas 0 y 1 caen el uno hacia el otro mucho más rápido que cualquiera de los otros cuerpos (aparte de los dos exteriores), y la distancia entre 0 y -1 es cada vez mayor. Esto coincide con la predicción de Lumo. Los otros cuerpos están casi estacionarios, lo que da confianza en que las condiciones de contorno no son numéricamente importantes para entender lo que ocurre en el centro. Poco después de que este gráfico termine los cuerpos empiezan a colisionar y esta simple simulación se rompe. Así que en unidades donde todo es 1 se tarda aproximadamente 1 unidad de tiempo para que ocurran cosas malas. :)

Answer 2

La aceleración del número de planetas $n$ excepto el planeta $0$ irá como $-1/n^3$ porque el desplazamiento del planeta $0$ de cero a $\epsilon$ equivale a añadir un "dipolo" (un par de masas positivas y negativas, relativamente desplazadas) en el lugar $0$ relativamente a la cadena uniforme equilibrada (pero inestable) y este dipolo actúa con el cubo inverso, en lugar de la ley inversa.

Vemos que efectivamente los planetas $+1$ y $-1$ son los más afectados y los que más rápido consiguen la aceleración. Sin embargo, el planeta $-1$ se moverá hacia la izquierda, alejándose de una posible colisión. Sin embargo, el planeta $-2$ está tratando de escapar del planeta $-1$ aunque con una velocidad menor, pero que será suficiente para garantizar que el $0-1$ la colisión será la primera. Después vendrán otras colisiones. Puedes simularlo numéricamente - el problema no es integrable ni siquiera para pequeñas $\epsilon$ Creo que simplemente porque te interesan los momentos en los que la distancia $\epsilon$ creció a un gran número $O(1)$ De todos modos