Comparación de dos álgebra de la sigma en espacios de Hilbert

Question

Sea$H$ un espacio de Hilbert no separable. Denotamos$B$ por el álgebra sigma generada por la topología de la norma en$H$. También denotamos$B_{w}$ por el álgebra sigma generada por la topología débil en$H$.

Pregunta: ¿Es$B$ lo mismo que$B_w$?

Observación. Cuando$H$ es separable, no es difícil ver que son iguales.

Answer 1

La unidad cerrada balón $M=\lbrace x\in H: \|x\|\le 1\rbrace$ no pertenece a $B_w$. Para ver esto, usted puede asumir que $H=\ell^2(I)=\lbrace (x_i)_{i\in I}: \sum_{i\in I}|x_i|^2=\sup \lbrace \sum_{i\in E} |x_i|^2: E\subset I \text { finite}\rbrace <\infty\rbrace$ para un innumerable conjunto de índices $I$. Asumiendo $M\in B_w$ le gustaría encontrar a una contables set $S\subseteq \ell^2(I)$ tal que $M$ está contenida en el $\sigma$-álgebra $\mathscr S$ generado por $\lbrace \langle\cdot, x\rangle: x\in S\rbrace$ (porque esto es así para cada elemento de a $B_w$). Ahora, todos los $x\in S$ se apoya en una contables set $J_x\subseteq I$. A continuación, $J=\bigcup_{x\in S}J_x$ es contable y se obtiene que para cada $A\in \mathscr S$, $x\in A$ $y\in \ell^2(I)$ $x_j=y_j$ todos los $j\in J$ también tiene $y\in A$. Sin embargo, $M$ claramente no tiene esta propiedad, incluso para $x=0$.