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Encontrar no trivial funciones f(x) tal que n=1f(n)=10f(x)dx

Se sabe que Atle Selberg encontrado el siguiente expresión, cuando tenía 14 años de edad : n=1nn=10xxdx.

Entonces, aquí está mi pregunta.

Pregunta : Encontrar la otra no trivial de las funciones de f(x) tal que n=1f(n)=10f(x)dx.   ()

Motivación : he encontrado las siguientes:

Deje m ser un número natural. Vamos a definir una función de f(x) a>0 f(x)=1(x+a)m1(x+a+1)m   (x0). Voy a probar que para cualquier mN, sólo existe una a>0 tal que f(x) satisface ().

1. El m=1 de los casos.

Tenemos n=1f(n)=n=1(1n+a1n+a+1)=1a+1, 10f(x)dx=[log(x+a)log(x+a+1)]10=log(1(1a+1)2).

Por lo tanto, si no existe 0<u0<1 tal que u0=log(1u02),then f(x) satisfies (\estrella) when a=a0=u011.

De hecho, nos encontramos con que no existe sólo una u0 mediante la observación de G(u)=log(1u2)u  (0<u<1).

2. El m2 de los casos.

Tenemos n=1f(n)=1(a+1)m, 10f(x)dx=1m1{1am12(a+1)m1+1(a+2)m1}.

Por lo tanto, vamos a demostrar que no existe a>0 tal que 1(a+1)m=1m1{1am12(a+1)m1+1(a+2)m1}    () Dejar hm(a)=(a+1)mam1+(a+1)m(a+2)m12(a+1)(m1), entonces sabemos que ()hm(a)=0.

Sin embargo, conseguir \begin{align} h_m(a) & = \frac{(a+1)^{m}}{a^{m-1}}+\frac{((a+2)-1)^m}{(a+2)^{m-1}}-2(a+1)-(m-1) \\ & = \frac1{a^{m-1}}\sum_{k=0}^m\binom{m}{k}a^{m-k}+\frac1{(a+2)^{m-1}}\sum_{k=0}^m\binom{m}{k}(-1)^k(a+2)^{m-k}-2(a+1)-(m-1) \\ & = -(m-1)+\sum_{k=2}^m\binom{m}{k}\left\{\frac1{a^{k-1}}+\frac{(-1)^k}{(a+2)^{k-1}}\right\} \end{align} nos dice \lim_{a\to +0}h_m(a)=+\infty, \lim_{a\to +\infty}h_m(a)=-(m-1)\lt 0, h_m^{\prime}(a)=-\sum_{k=2}^m\binom{m}{k}(k-1)\left\{\frac1{a^k}+\frac{(-1)^k}{(a+2)^k}\right\}\lt0.

Aquí, tenga en cuenta que \frac1{a^k}+\frac{(-1)^k}{(a+2)^k}\gt 0.

Por lo tanto, sabemos que existe sólo una a\gt 0 tal que h_m(a)=0. Ahora la prueba se ha completado.

Por cierto, sabemos a=\sqrt2m=2.

He estado buscando por el resto de las funciones, pero no puedo encontrar ninguna otra función. Alguien puede ayudar?

3voto

Vedran Šego Puntos 8041

Esto es más de un comentario, pero demasiado largo para poner allí.

Tenga en cuenta que el valor de una función en puntos aislados no afecta a su formación integral. Por lo tanto, tomar cualquier función integrable f: [0,1\rangle \to \mathbb{R}, y deje I := \int_0^1 f(x) dx. Ahora, expanda el deinfition de f:

\begin{align*} f(1) &:= I, \\ f(n) &:= 0, \quad n \in \mathbb{N} \setminus \{1\}, \\ f(x) &:= \text{anything you want}, \quad x \in \mathbb{R} \setminus ([0,1 \rangle \cup \mathbb{N}). \end{align*}

Incluso si usted desea una función continua, todavía se puede definir a partir de f: [0,1] \to \mathbb{R}, y, a continuación, establecer sus valores fuera de [0,1], por lo que \begin{align*} f(2) &:= I - f(1), \\ f(n) &:= 0, \quad n \in \mathbb{N} \setminus \{1\}, \\ f(x) &:= \text{anything you want}, \quad x \in \mathbb{R} \setminus ([0,1 \rangle \cup \mathbb{N}). \end{align*}

Siempre se puede hacer esto (y en un gran número de formas), mientras que la preservación de la continuidad de su función.

0voto

Pato Sáinz Puntos 118

PS

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