Un campo tiene característica 0 si y solamente si contiene Q

Question

          I would like some help in proving the following statement: 

Un campo de $K$ tiene características de 0 si y sólo si $\mathbb{Q}$ es un subcampo de la $K$.

Así, la forma en que se han acercado este es el primer suponiendo que $K$ tiene características de 0 y, a continuación, sabemos que hay una incrustación de $\mathbb{Z}$ en K y desde $n.1$ es en K, entonces, sus inversas, también estará en $K$ y, por tanto, el subcampo que tenemos es la generada por ${1}$ y este es el primer subcampo de K y este es isomorfo a $\mathbb{Q}$. Por lo $K$ contiene $\mathbb{Q}$. Pero no estoy seguro de cómo el progreso de la otra manera.

(Si usted siente que el razonamiento que he utilizado anteriormente está mal/se puede mejorar, yo estaría muy feliz de que sea corregida.)

Answer 1

La prueba está bien. En realidad, usted ha hecho la dirección dura otra dirección es más fácil! Supongamos que $\mathbb{Q}$ es un subcampo de $K$. Entonces si tenemos una ecuación de la forma 1 + 1 + \ldots + 1 = 0 $$ $K$, nosotros también tendría en $\mathbb{Q}$ (porque el $1$ es el mismo si nos ve en $K$ o en el subcampo $\mathbb{Q}$). Pero no hay tal ecuación en $\mathbb{Q}$.