¿Cómo usar el teorema de la función inversa para encontrar un local inversa?

Question

Tengo una función $F(x,y)=(x^2 - y^2, xy)$ y necesito para demostrar que tiene una inversa. ¿Cómo puedo encontrar la inversa de esta función usando el teorema de la función inversa? Lo hice hace un tiempo y ahora no puedo encontrarlo en mis notas. Recuerdo tener que hacer $u = x^2 - y^2$ y $v = xy$ pero luego me he perdido.

Gracias por su ayuda.

Answer 1

El IFT prueba la existencia local de función inversa, pero no es útil para encontrar la forma explícita de la función inversa. En este caso, \frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y) $$} = x & \left|\matrix{2x & y\cr-2y} \right|=2(x^2+y^2)\ne 0\iff(x,y)\ne(0,0) $$ y la inversa existe localmente en cualquier momento excepto el origen.

Answer 2

Para escribir una fórmula concreta, como bien dices, $u=x^2-y^2$ y $v=xy$. $y=v/x$, Que $$u=x^2-\frac{v^2}{x^2}$ $, lo que implica que %#% $ #% resolver la ecuación anterior para $$x^4-ux^2-v^2=0.$ utilizando la fórmula cuadrática y sustituir a $x$ para encontrar la ecuación de $y=v/x$

Por supuesto se debe tener cuidado al elegir signos para determinadas regiones de $y.$.