Demuestre que existe$\phi :X\to \mathbb{R}$ que es continuo y no está limitado.

Question

Deje $X$ ser un espacio métrico y $(a_n)$ una secuencia de Cauchy en $X.$

Deje $f(x) = \lim_{n\to \infty}d(a_n,x)$ (el límite existe desde $d(a_n,x)$ es una secuencia de Cauchy y por lo tanto convergente). Me han demostrado que $f$ es continua. Ahora supongamos que $X$ no está completa, entonces, queremos mostrar que existe $\phi :X\to \mathbb{R}$ que es continua y no acotada.

Supongo que $\phi = f,$ pero no soy capaz de argumentar por qué $f$ es no acotada. Cualquier idea será muy apreciada.

Answer 1

Lo primero es lo primero: se asume que el $X$ no está completa, así que usted sabe que existe una secuencia de Cauchy $(a_{n})$ en $X$ sin límite en $X.$ Así que usted debe fijar una secuencia, y el uso que en la definición de la $f. $

Ahora, su función $f$ podría ser acotada, es decir, si el espacio métrico $X$ es limitada (por ejemplo, tome $X$ a los números racionales entre $0$ e $1;$ entonces $f$ está acotado abajo por $0$ y acotada arriba por $1$).

Así que ahora la pregunta es: se puede utilizar $f$ a definir una función diferente a$\phi\colon X\to\mathbb{R}$ que es ilimitado, sino que también es continua?

Sugerencia:

Debido a su elección de $(a_{n}),$ usted saber que $f$ nunca toma el valor de $0.$ Usar esto para su ventaja.

Answer 2

¿Sabe usted que el espacio métrico de las terminaciones de existir? Si es así, entonces considere $\tilde{X}$, el espacio métrico de la finalización de $X$, y la métrica $\tilde{d}$ a $\tilde{X}$ , lo que coincide con $d$ sobre los elementos de la $X$. Desde $X$ no fue completa, existe un punto de $\tilde{x} \in \tilde{X}$ que no está en $X$, y una secuencia de Cauchy $(a_n)$ de los elementos de $X$ que converge a $\tilde{x}$. A continuación, la función de $f(x) = \lim_{n \to \infty} \tilde{d}(a_n, x)$ es continua, como se ha demostrado. También se debe tomar en valores distintos de cero para cualquier $x \in X$ (żpor qué?). Creo que la restricción de $1/f$ a $X$ va a ser su función deseada.