Dando un ejemplo explícito de que AC es independiente de ZF.

Question

Sé que el axioma de elección (AC)

Para cualquier conjunto de <span class="math-container">$X$</span> de conjuntos no vacíos, existe una función de elección definida en <span class="math-container">$X$</span>.

es independiente de ZF. ¿Se puede dar un ejemplo explícito de tal conjunto de <span class="math-container">$X$</span> para que tengamos esta independencia?

Answer 1

El ejemplo más sencillo, supongo, es el poder conjunto de los números reales (sin los números reales).

Es coherente que no hay posibilidad de elección de la función de ese conjunto, y, por supuesto, asumiendo elección, no es una función de elección.

Pero hay un problema sutil aquí o sintáctica y semántica de punto. Ya podemos añadir una función de elección para un fijo de la familia, obligando, o, del mismo modo que siempre se puede ampliar un modelo de ZF así que no hay una función de elección de los conjuntos de los números reales, tenemos que ser cuidadosos y preguntar ¿qué son los conjuntos de reales. En diferentes modelos, la respuesta sería diferente.

Además de que, a partir de un modelo de ZFC, podemos hacer la elección fallar mal, pero manteniendo algunas segmento inicial del universo y bien ordenada (y por lo tanto la admisión de una función de elección). Así que esto añade aún más confusión al fuego, como Henno señala en los comentarios, que no está bien ordenado, no es algo que ZF sí puede decidir. Ni siquiera ZF con el fallo de CA.

Answer 2

Dependiendo de qué es exactamente lo que entendemos por "explícita ejemplo," podemos hacer esto.

La situación es más simple con respecto a la bien-principio de orden, que después de todo es equivalente al axioma de elección: es coherente con ZF que $\mathbb{R}$ no puede ser bien ordenado.

Para traducir esto en un ejemplo concreto de un posible fracaso de el axioma de elección, podemos ver la prueba de que el axioma de elección implica el principio de buena ordenación: todo lo que tenemos que hacer para bien de orden $\mathbb{R}$ es tener una manera de hacer, dado $A\subsetneq\mathbb{R}$, recoger algunas $a\in\mathbb{R}\setminus A$, y así que esto significa que la familia $$(\mathbb{R}\setminus A)_{A\subsetneq\mathbb{R}}$$ consistentemente no tiene la función de elección.

Por supuesto, una más ágil forma de decir esto es que siempre la familia de vacío (como opuesta a la correcta) de subconjuntos de a$\mathbb{R}$ no tiene una función de elección - acabamos de cambiar de $A$ a $\mathbb{R}\setminus A$ - pero la formulación anterior hace que la relación con el bien-orderability de $\mathbb{R}$ más claro.

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Ahora hay muchas sutilezas en torno a este. Voy a mencionar sólo uno (el que se ve en el principio de orden en lugar de la elección, para simplificar):

Desde $\mathbb{R}$ es constantemente no bien disponible, no hay ninguna fórmula $\varphi$ , en el lenguaje de la teoría de conjuntos que ZF se demuestra que es un buen orden de $\mathbb{R}$. Sin embargo, esto nosignifica que no puede ser no definibles por el buen orden de $\mathbb{R}$! Hay muchas fórmulas que constantemente definir bien ordenamientos de $\mathbb{R}$, principalmente entre ellos los siguientes:

$r\triangleleft s$ fib $r$ precede $s$ , en la canónica buen orden de $L$.

Aquí $L$ es de Gödel edificable universo, que tiene un definibles (clase) de pedido (si usted prefiere evitar adecuada clases, usted puede buscar a $L_{\omega_1}$ desde $\mathbb{R}\cap L=\mathbb{R}\cap L_{\omega_1}$).

Sin embargo, podemos hacer aún más ágil. Es preocupante posible para que todo sea definible: es decir, hay modelos de $M\models$ ZF tal que cada elemento de a$M$ es definible en $M$ sin parámetros. En este caso, la costumbre lexicográfica del buen orden en el conjunto de fórmulas en el lenguaje de la teoría de los rendimientos de una buena ordenación de todo el modelo, que se restringe a un buen orden de $\mathbb{R}$ (o más bien, lo que el modelo piensa que es $\mathbb{R}$). Menciono esto porque es un buen ejemplo de cuán sutil que la situación puede ser, y empieza a indicar por qué el "ejemplo claro" de arriba no puede ser tan satisfactorio como parece a primera vista.