¿Es el conductor de una F L-función valor absoluto del discriminante ofsome campo relacionadas con la F?

Question

En la teoría de la automorphic formas, ramificado, de los números primos de una L la función de dividir el llamado conductor de los mismos. Por otro lado, se puede definir un campo de número de $ K $ integral invariante $ \Delta_{K} $ igual al cuadrado de la determinante de algunos matriz cuadrada se define a través de una base de el anillo de los enteros $ O_{K} $ y el complejo de incrustaciones. Parece que el conductor de la Dedekind zeta función de un campo de número de $ K $ es $ \vert \Delta_{K}\vert $.

De ahí mi pregunta : ¿es posible para cualquier L-función de $ F $ a definir una relacionada con el campo de número cuyo valor absoluto del valor del discriminante es el conductor de la $ F $? Si sí, ¿cómo se define ?

Answer 1

$\ $ Hay una terriblemente ineficaz procedimiento de Dedekind y Artin L-funciones, pero es que vale la pena mirar de todos modos:

Para $f(x)=\sum_{n=0}^N a_n x^n \in \mathbb{Z}[x]$, vamos a $v(f) = (N,\sum_{n=0}^{N} |a_n|, a_0,\ldots,a_N,0,\ldots) \in \mathbb{Z}^{\infty}$. Aplicando el léxico para $v(f)$ , obtenemos un orden en el entero de los polinomios de la satisfacción de las finito descendente de la cadena de condición.

A continuación, asumir que nos da el producto de Euler de un Dedekind zeta función de $\zeta(K,s)=\prod_p\zeta_p(K,s)$ con $K$ un número desconocido de campo.

Elija un elemento primitivo $\alpha$ ($K = \mathbb{Q}(\alpha)$) y deje $h \in \mathbb{Z}[x]$ ser su polinomio mínimo.

Para $n=1,2,3,\ldots\ $ menos polinomio irreducible $f_n \in \mathbb{Z}[x]$ satisfacción $$\forall p \le n, \qquad \zeta_p(\mathbb{Q}[x]/(f_n),s)=\zeta_p(K,s)$$

La secuencia de $f_n$ es el aumento en el orden en monic polinomios, y es acotada arriba por $h$.

Por lo tanto $f_n$ converge, a un polinomio $f$ satisfacción $$\zeta(\mathbb{Q}[x]/(f),s)=\zeta(K,s)$$

¿Crees que $\mathbb{Q}[x]/(f)$ e $ K$ son isomorfos ? Lo que si $K/\mathbb{Q}$ es de Galois ?

Para $L(s,\rho,K)$ un Artin L-función, la idea es la misma, la comparación de los factores de $L(s,\rho,K)$ con que de cada Artin L-función de $L(s,\psi,\mathbb{Q}[x]/(f_n))$.

La restricción de a $f_n$ irreductible es la simplicidad. Si $f_n$ no es irreducible, a continuación, $\mathbb{Q}[x]/(f_n(x))$ no es un campo y su anillo de los números enteros está mal definida. Pero aún podemos mirar en la estructura de anillo de $\mathbb{Z}[x]/(f_n(x),p)$ crear (por la $p$ donde $f_n$ ha $N$ distintas raíces) un factor de Euler y compararlo con $\zeta_p(K,s)$, la obtención de ese $f_n$ converge a un polinomio $f$ satisfacción $\zeta_p(K,s) = \zeta_p(\mathbb{Z}[x]/(f),s)$ por cada $p$ unramified en $O_K$ e $\mathbb{Z}[x]/(f)$.

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2ª parte : prueba de que algo de L-funciones no son Artin L-funciones. Una hipótesis predice automorphic L-funciones de $= $ motivic L-funciones.