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Question

En una respuesta a otra pregunta, me indicó $$\sum\limits_{j=0}^M \frac{M \choose j}{N+M \choose j} = \frac{N+M+1}{N+1}.$$

Esto es claramente cierto cuando $N=0$ desde que se suman a$M+1$ copias de $1$, y cuando se $M=0$ desde agregar una copia de seguridad de $1$. Y, por ejemplo, con $M=4$ e $N=9$ obtener $\frac{1}{1}+\frac{4}{13}+\frac{6}{78}+\frac{4}{286}+\frac{1}{715} = \frac{14}{10}$ como se esperaba.

Pero, ¿cómo puede usted acercarse a un general de la prueba?

Answer 1

Sugerencia. Tenga en cuenta <span class="math-container">$$\frac{M \choose j}{N+M \choose j}=\frac{\binom{N+M-j}{N}}{\binom{N+M}{N}}.$ $</span> por lo tanto, nosotros podemos escribir la suma como <span class="math-container">$$\sum{j=0}^M \frac{M \choose j}{N+M \choose j}=\frac{1}{\binom{N+M}{N}}\sum{j=0}^M \binom{N+M-j}{N}=\frac{1}{\binom{N+M}{N}}\sum_{i=N}^{N+M} \binom{i}{N}.$ $</span> finalmente utilizar la identidad de palo de Hockey.

Answer 2

$\newcommand{\bbx}[1]{\,\bbox[15px,border:1px groove armada]{\displaystyle{#1}}\,} \newcommand{\llaves}[1]{\left\lbrace\,{#1}\,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\,{#1}\,\right\rbrack} \newcommand{\dd}{\mathrm{d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,\mathrm{e}^{#1}\,} \newcommand{\ic}{\mathrm{i}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\,{#1}\,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\parcial #3^{#1}}} \newcommand{\raíz}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,{#2}\,}\,} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{\mathrm{d}^{#1} #2}{\mathrm{d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\,{#1}\,\right\vert}$

$\ds{\sum_{j = 0}^{M}{{M \elegir j} \over {N + M \elegir j}} = {N + M + 1 \sobre N + 1}:\ {\LARGE ?}}$.

\begin{align} \sum_{j = 0}^{M}{{M \choose j} \over {N + M \choose j}} & = \sum_{j = 0}^{M}{M!/\bracks{j!\pars{M - j}!} \over \pars{N + M}!/\bracks{j!\pars{N + M - j}!}} \\[5mm] & = {M!\, N! \over \pars{N + M}!}\sum_{j = 0}^{M} {N + M - j \choose M - j} \\[5mm] & = {M!\, N! \over \pars{N + M}!}\pars{-1}^{M} \sum_{j = 0}^{M}\pars{-1}^{j} \bracks{z^{M - j}}\pars{1 + z}^{-N - 1} \\[5mm] & = {M!\, N! \over \pars{N + M}!}\pars{-1}^{M} \bracks{z^{M}}\pars{1 + z}^{-N - 1}\, {\pars{-z}^{M + 1} - 1 \over \pars{-z} - 1} \\[5mm] & = {M!\, N! \over \pars{N + M}!}\pars{-1}^{M} \bracks{z^{M}}\pars{1 + z}^{-N - 2} \\[5mm] & = {M!\, N! \over \pars{N + M}!}\pars{-1}^{M} \braces{{-\bracks{-N - 2} + M - 1 \choose M}\pars{-1}^{M}} \\[5mm] & = \bbx{N + M + 1 \over N + 1} \end{align}