¿Por qué esta integral (que parece complicada) es tan fácil de evaluar?

Question

Encuentro la siguiente integral durante la conferencia de Estadística y el profesor lo resolvió rápidamente como si asumiera que sabemos que esta integral es fácil, así que resuelva

PS

Sospecho que esto implica una distribución de probabilidad, pero no sé cuál. ¿Por qué esta integral es tan fácil de resolver? Sé que debo haber estado perdiendo algo.

Answer 1

Para cada $\lambda<0$ , \begin{align}\int_0^\infty xe^{\lambda x}\,\mathrm dx&=\left[x\frac{e^{\lambda x}}\lambda\right]_{x=0}^{x=\infty}-\int_0^\infty\frac{e^{\lambda x}}\lambda\,\mathrm dx\\&=-\left[\frac{e^{\lambda x}}{\lambda^2}\right]_{x=0}^{x=\infty}\\&=\frac1{\lambda^2}.\end {align}