¿Son correctas estas respuestas sobre el enfoque y la directriz?

Question

1. Encuentra el vértice, el foco y la directriz de la parábola dada por

$y = 2x^2$

$(y-0) = 2(x-0)^2$

$(x-0)^2 = \frac{1}{2}(y-0)$

$4p = \frac{1}{2} \implies p = \frac{1}{8}$

V: $(0,0)$ F: $(0,\frac{1}{8})$ D: $y = -\frac{1}{8}$

2. Encuentra el vértice, el foco y la directriz de la parábola dada por $$y = -2018x^2$$

$(x-0)^2 = -\frac{1}{2018}(y-0)$

$4p = -\frac{1}{2018} \implies p = -\frac{1}{8072}$

V: $(0,0)$ F: $(0,-\frac{1}{8072})$ D: $y = \frac{1}{8072}$

3. Encuentra el vértice, el foco y la directriz de la parábola dada por

$(y-2)^2 = 8(x+5)$

$4p = 8 \implies p = 2$

V: $(-5,2)$ F: $(-3,2)$ D: $x= -7$

4. Encuentra el vértice, el foco y la directriz de la parábola dada por

$(y+6)^2 = \frac{1}{2}(x-1)$

$4p = \frac{1}{2} \implies p = \frac{1}{8}$

V: $(1,-6)$ F: $(\frac{9}{8},-6)$ D: $x = \frac{7}{8}$

5. Encuentra el vértice, el foco y la directriz de la parábola dada por

$y = 2x^2+5x-7$

$x^2+\frac{5}{2}x-\frac{7}{2} = \frac{y}{2}$

$x^2+\frac{5}{2}x = \frac{y}{2} +\frac{7}{2}$

$x^2+\frac{5}{2}x +\frac{25}{16}= \frac{y}{2} +\frac{7}{2}+\frac{25}{16}$

$(x+\frac{5}{4})^2 = \frac{81}{16}+\frac{y}{2}$

$(x+\frac{5}{4})^2 = \frac{1}{2}(\frac{81}{8}+y)$

$4p = \frac{1}{2} \implies p = \frac{1}{8}$

V: $(-\frac{5}{2}, -\frac{81}{8})$ F: $(-\frac{5}{2}, -\frac{80}{8})$ D: $y = -\frac{82}{8}$

6. Encuentra el vértice, el foco y la directriz de la parábola dada por

$y = -\frac{x^2}{4} - 2x +8$

$-4y = x^2 +8x -32$

$x^2 +8x +16 = 16+32+(-4y)$

$(x+4)^2 = 48 - 4y$

$(x+4)^2 = 4(12 - y)$

$(x+4)^2 = -4(y-12)$ $4p = -4 \implies p= -1$

V: $(-4,12)$ F: $(-4,11)$ D: $y = 13$

7. Halla la ecuación de la parábola que pasa por el punto $(8,12)$ con un vértice de $(4,-2)$

En este caso estoy un poco confundido, ¿no hay múltiples parábolas que podrían pasar por este punto y tener este vértice? Voy a suponer que es al cuadrado en el término x, así que:

$(x-4)^2 = 4p(y+2)$

$(8-4)^2 = 4p(12+2)$

$16 = 4p(14)$

$\frac{16}{14} = 4p \implies p = \frac{4}{14}$

La ecuación es $(x-4)^2 = \frac{16}{14} (y+2)$

8. Explica, con palabras, cómo la distancia entre el vértice y el foco de una parábola afecta a la inclinación de la parábola

A medida que aumenta la distancia entre el foco y la directriz, $|p|$ disminuye, lo que significa que la parábola se ensancha.

Answer 1

Todas las demás respuestas son correctas, la ecuación de la directriz es incorrecta en la cuarta pregunta (debería ser $\frac{7}{8}$ ), la respuesta final escrita en la séptima pregunta es incorrecta $\Big($ poniendo el valor de 4p la ecuación final se convierte en $(x-4)^2 = \frac{16}{14}(y+2)\Big)$ y en la octava pregunta, sabemos que la distancia entre el foco y la directriz es 2|p|, por lo tanto, al aumentar la distancia, |p| aumenta.

Espero que sea útil:)