¿Puede ser el conjunto vacío la imagen de una función en $\mathbb{N}$?

Question

No puedo encontrar ningún ejemplo de función $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ del cual podamos decir que $$f(\mathbb{N})=\emptyset$$ ¿Existe alguno?

Answer 1

No. Por definición de $f:A \to B$, entonces para cada $a\in A$ entonces $f(a)$ debe existir y $f(a) \in B$. Por lo tanto, si $A$ no está vacío entonces $f(A)$ no está vacío (aunque puede tener tan solo un elemento).

Sin embargo, es posible que $A$ esté vacío en cuyo caso $f(A)$ también está vacío (obviamente).

$f: \emptyset \to B$ es la función vacía en este caso.

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O para ponerlo muy simple, $f(1)$ debe estar en la imagen, por lo que la imagen no puede estar vacía.

Answer 2

No existe tal función: en particular, la única función cuya imagen es el conjunto vacío es la función vacía, cuyo dominio también es el conjunto vacío. En particular, $f(\mathbb{N})$ no puede ser el conjunto vacío, porque contiene $f(1)$.

Answer 3

Bueno, la definición establece que para cualquier número natural x existe un número natural y único determinado tal como f(x)=y. Dado que f(N) no tiene elementos, significa que no existe ningún y tal como f(x)=y. ¡Contradicción! ¡Así que tales funciones no existen :) La imagen de una función tiene al menos un elemento ya que Df tiene al menos 1 elemento.

Answer 4

Dado que para cada $a\in \mathbb{N}$ el $f(a)$ también está en $\mathbb{N}$, vemos que $f(\mathbb{N})\ne \emptyset$, por lo que no existe tal función.

Answer 5

Este caso no es posible ya que, por definición del rango de una función, $f(a)$ debe pertenecer al codominio para cada $a$ en el dominio.