Decir que tengo alguna homomorphisms de anillos conmutativos, $A \rightarrow B, A \rightarrow C.$ recientemente he leído que $B \otimes_A C$ es el pushout de los morfismos en la categoría de anillos conmutativos. Sin embargo, entendí tensor de los productos definidos para los módulos sobre un anillo conmutativo. Puede que de alguna manera nos damos cuenta de $B, C$ como los módulos a través de $A$ a través de la homomorphisms o es $B \otimes_A C$ como se define por el pushout una generalización de la 'normal' de la definición de los tensores? Parece improbable que es una generalización, ya que parece depender de estos morfismos mientras que los tensores de los módulos no depende de ningún tipo de morfismos.
Respuesta
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Tomar todos los anillos aquí para ser conmutativa. Un anillo homomorphism $f:A\to B$ hace $B$ a una $A$-módulo. En detalle, el módulo de acción es $a\cdot b=f(a)b$. Con otro anillo homomorphism $g:A\to C$ entonces tenemos dos $A$-módulos, y se puede formar el producto tensor $B\otimes_A C$.
En primer $B\otimes_A C$ es sólo un módulo. Pero tiene una multiplicación, se define como la composición $$(B\otimes_A C)\times B\otimes_A C)\(B\otimes_A C)\otimes_A (B\otimes_A C) \(B\otimes_A B)\otimes_A (C\otimes_A C)\B\otimes_A C.$$ El centro del mapa es sólo permuting los factores, y el último mapa es inducida por $(b\otimes b')\otimes(c\otimes c')\mapsto bb'\otimes cc'$. En términos de los elementos: $$(b\otimes c)(b'\otimes c')=bb'\otimes cc'.$$
A continuación, $B\otimes_A C$ es un anillo. Hay anillo homomorphisms de $B$ y $C$ a, el primero dado por $a\mapsto a\otimes 1_C$. Ahora uno se sienta con una hoja de papel grande, y la prueba de que el mapa de $A\to B\otimes_A C$ es el pushout de $A\to B$ e $A\to C$.
