Asegurándose de que sea Cauchy.

Question

En mi análisis real examen, yo tenía un problema en el que me demostró que $|x_{n+1} - x_n|\lt {a^n}$ para todos los números naturales $n$ y para todo número positivo $a\lt 1$ entonces $(x_n)$ es una secuencia de Cauchy.

Esto fue resuelto con éxito, pero la pregunta es si $|x_{n+1} - x_n|\lt \frac 1n$ significa eso $(x_n)$ es de Cauchy? Bueno, mi respuesta fue que sí, porque yo podría escribir esto en el formulario de la primera, pero ahora, de alguna manera, estoy confundido con lo que me han contestado desde $1/n$ es una secuencia de $n$ así que tal vez la respuesta no es necesariamente cierto... Puede usted por favor me proporcione la respuesta correcta para esta pregunta?

Answer 1

Considere la serie armónica: $\sum_{n=1}^{\infty}\frac 1n$ .

$\mid a_{n+1}-a_n\mid=\frac1{n+1}\lt\frac1n$ .

Pero difiere.

Answer 2

No, $\lvert x_{n+1}-x_n\rvert < 1/n$ no implica que $(x_n)_{n\in \mathbb{N}}$ sea ​​Cauchy. Considere $x_n = \sum_{k=1}^n 1/2k$ , que no converge.

Answer 3

Tome $x_n=1+\frac 1 2+\cdots+\frac 1 n$ . Esto no es Cauchy porque la serie armónica $1+\frac 1 2+\cdots$ es divergente.

Answer 4

Este tipo de cosas sólo funciona si usted puede mostrar a $|x_{n + 1} - x_{n}| < a_n$ donde $\sum_{k = 0}^\infty a_k < \infty$ debido a que, si se cumple esta condición,

\begin{align} |x_{n} - x_{n + m}| &= |x_{n} - x_{n + 1} + x_{n + 1} - x_{n + 2} + x_{n + 2} - \cdots + x_{n + m - 1} - x_{n + m}| \\ &\le |x_{n} - x_{n + 1}| + \cdots + |x_{n + m - 1} - x_{n + m}| \\ &\le a_n + a_{n + 1} + \dots + a_{n + m - 1} \\ &\le \sum_{k = n}^\infty a_k \end{align}

Ahora la convergencia de $\sum a_k$ a $A$ significa que para cualquier $\varepsilon > 0$ existe $N$ tal que para todos los $n \ge N$,

$$ \left| A - \sum_{k = 0}^{n - 1} a_k \right| = \sum_{k = n}^\infty a_k < \varepsilon $$

Comparando esto con lo anterior, tenemos para todos los $n \ge N$ y cada una de las $m \ge 0$,

$$ |x_n - x_{n + m}| < \varepsilon $$

Lo que significa que la secuencia de $(x_n)$ es de Cauchy.

Si el obligado en $|x_{n + 1} - x_n|$ no converge como una serie, usted necesita usar otro truco.

Answer 5

Para cada $n \in \mathbb{N}$ , defina $x_n:=1^{-1}+2^{-1}+\cdots+n^{-1}$ . Observe $|x_{n+1}-x_n|=\frac{1}{n+1}$, pero la secuencia $\{x_n\}_{n=1}^\infty$ no es Cauchy, ya que sus términos son solo las sumas parciales de las series armónicas que se sabe que no convergen y $\mathbb{R}$ está completa.