Usa$\cos 5\theta$ para encontrar las raíces de$x(16x^4 - 20x^2 + 5) = 0$

Question

Usé $\cos(3\theta + 2\theta)$ para probar la primera parte, pero no sé cómo la parte $2$ nd.

Muestra ese $\cos 5\theta=16\cos^5\theta-20\cos^3\theta+5\cos\theta,$ y por lo tanto muestra que $$\text{the roots of }x(16x^4 - 20x^2 + 5) \text{ are: } 0,\cos\frac{\pi}{10}, \cos\frac{3\pi}{10},\cos\frac{7\pi}{10}, \cos\frac{9\pi}{10}$ $

Answer 1

• La ecuación $$\;x(16x^4 - 20x^2 + 5) = 0\; \tag 1$$ can have $5$ soluciones reales (incl. la multiplicidad).

• De $\;\cos 5\theta = 16\cos^5 \theta - 20\cos^3 \theta + 5\;$ podemos deducir que vamos a buscar soluciones de $(1)$ en forma de $\cos \theta\;$ donde $\;\cos 5\theta = 0.$

• $\cos 5\theta = 0$ tiene por $10$ diferentes valores de $\;\theta \in (-\pi,\pi]\;$ obtenido cuando la resolución de $$\cos 5\theta =\frac \pi2 +2k\pi\quad \text{or} \quad \cos 5\theta = -\frac \pi2 + 2k\pi,\; k=0,1,\dots,4.$$

Estas son las $$\frac{\pi}{10},\; \frac{5\pi}{10},\; \frac{9\pi}{10},\;\frac{13\pi}{10},\;\frac{18\pi}{10}\;\text{and}\;-\frac{\pi}{10},\;\frac{3\pi}{10},\;\frac{7\pi}{10},\;\frac{11\pi}{10},\;\frac{15\pi}{10},\;$$ entre ellos dos y los dos tienen igual cosenos (se puede comprobar que son los pares?).

Las soluciones son de los mencionados en la pregunta.

Answer 2

Insinuación. Tenga en cuenta que $\cos(5\theta)=0$ si y solo si $5\theta=\frac{\pi}{2}+k\pi$ con $k\in\mathbb{Z}$ . Una vez que tengamos $\theta$ , consideremos el conjunto de valores $\cos(\theta)$ : $$\left\{\cos(\theta):\; \theta=\frac{(1+2k)\pi}{10}, k\in\mathbb{Z}\right\}.$ $ ¿Puede hacer una lista finita de los elementos de este conjunto "infinito"?

Answer 3

Aquí el valor del coseno se repetirá después del punto. Los valores finales serán solo 5.