Es la suma de todos los números racionales entre dos enteros infinito

Question

Si hay números infinitos entre dos números racionales, ¿eso implicaría que la suma de todos los números, digamos entre 1 y 2, sea infinito?

¿Creo que esto no puede ser cierto y tiene que hacer algo con el área bajo una curva?

Answer 1

Antes de responder esta pregunta es necesario una definición de lo que significa "sumar una infinidad de números".

Por el momento, se supone que los números están enumerados en orden: $$ a_1, a_2, \ldots . $$ A continuación, los matemáticos definen la infinita suma a ser el límite (si existe) de los números $$ a_1, \quad a_1 + a_2, \quad a_1 + a_2 + a_3, \ldots . $$ Entonces, por ejemplo, se puede mostrar que la "suma infinita" $$ 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots $$ es $2$. Así que a veces la suma de un número infinito de números es finito.

Con esa definición, que claramente no puede sumar todos los números racionales entre $1$ e $2$ ya que todos ellos son mayores de $1$, por lo que esas sumas parciales crecerá sin límite. No se puede sumar todos los números racionales entre $0$ e $0.0001$ desde infinitamente muchos de ellos son mayores de $0.00001$. Por lo que son más o menos correcta - los matemáticos prefieren decir que no suma, no es que la suma es infinito.

Cuando usted aprende cálculo (ese "algo con el área bajo una curva") verá cómo agregar más y más y más piezas sin crecer hasta el infinito, porque en cada etapa de las piezas son más pequeñas y más pequeñas.