Enlace entre polinomio y derivado del polinomio

Question

Me parece que no puede resolver este problema, alguien me puede ayudar por favor? El problema es:

Vamos a los números reales $a$,$b$ e $c$, $a ≤ b ≤ c$ ser el 3 raíces del polinomio $p(x)=x^3 + qx^2 + rx + s$. Mostrar que si dividimos el intervalo de $[b, c]$ en seis partes iguales, entonces uno de la raíz de $p'(x)$ (la derivada del polinomio $p(x)$) será en la 4ª parte.

Yo lo que hice fue:

Porque sabemos que las raíces de $p(x)$ se $a$,$b$ e $c$, podemos escribir el polinomio $p(x)$ así: $p(x) = (x-a)(x-b)(x-c)$

Así que tenemos $p(x) = x^3 + qx^2 + rx + s = (x-a)(x-b)(x-c)$

Queremos encontrar el valor de $q$,$r$ e $s$: $q = -(a+b+c)$

$r = (ab + ac + bc)$

$s = -abc$

Tenemos que $p'(x) = 3x^2 + 2qx + r$ Queremos encontrar las raíces de $p'(x)$, por lo que si aplicamos la fórmula cuadrática, obtenemos: $(-2q ± 2*\sqrt{q^2 - 3r})/6$

Porque sabemos el valor de q,r y s, podemos reescribir esta expresión como esta: $(2(a+b+c) ± 2\sqrt{a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc -ca})/6$

Pero yo estoy atrapado aquí, cualquier ayuda sería genial. Gracias de antemano.

Answer 1

Desde <span class="math-container">$p(x) = (x-a)(x-b)(x-c)$</span>,

<span class="math-container">$$\begin{align}p'(x) &= (x-b)(x-c)+(x-a)(x-c)+(x-a)(x-b)\ &= (x-b)(x-c) + (x-a)(2x - (b+c))\end {Alinee el} $</span> <span class="math-container">$x = \frac{b+c}{2}$</span>, Tenemos

<span class="math-container">$$p'(x) = \frac{c-b}{2}\cdot\frac{b-c}{2} + (x-a)\cdot 0 = -\frac{(c-b)^2}{4} \le 0$$</span>

<span class="math-container">$x = \frac{b+2c}{3}$</span>, Tenemos

<span class="math-container">$$\begin{align}p'(x) &= \frac{2(c-b)}{3}\cdot\frac{b-c}{3} + \left(\frac{b+2c}{3} - a\right)\cdot\frac{c-b}{3}\ &= -\frac{2(c-b)^2}{9} + \left(\frac{2(c-b)}{3} + (b-a)\right)\cdot\frac{c-b}{3}\ &= \frac{(b-a)(c-b)}{3}\&\ge 0\end {Alinee el} $</span> Esto implica <span class="math-container">$p'(x)$</span> tiene una raíz en <span class="math-container">$\left[\frac{b+c}{2},\frac{b+2c}{3}\right]$</span>.

Answer 2

Tengo un poco elegante solución de fuerza bruta. Ya que el problema es la traducción de todos los idiomas, podemos suponer $a=0$ para simplificar los cálculos, de modo que $0\leq b\leq c$. Debe quedar claro que la raíz de $p'(x)$ que nos interesa es el más grande de los dos, es decir, el uno con el signo más. Tenemos que demostrar que $$\dfrac{3b+3c}{6}\leq\dfrac{2(b+c)+2\sqrt{b^2+c^2-bc}}{6}\leq\dfrac{2b+4c}{6}$$ A la izquierda, obtenemos $$b+c\leq 2\sqrt{b^2+c^2-bc}$$ donde ambas partes son no negativos, el cuadrado da $$b^2+c^2+2bc\leq 4(b^2+c^2-bc)\Rightarrow 3b^2+3c^2-6bc\geq 0$$ que posee. A la derecha tenemos $$2\sqrt{b^2+c^2-bc}\leq 2c$$ así que $$b^2+c^2-bc\leq c^2\Rightarrow b(b-c)\leq 0$$ que mantiene desde $0\leq b\leq c$.