Medibles subconjunto de $\mathbb{R}$ con una propiedad específica

Question

Deje $A$ ser un subconjunto de a $\mathbb{R}$ de manera tal que su intersección con cada segmento finito es Lebesgue medible. Estoy buscando un ejemplo de una $A$ con la propiedad adicional de que la función de $\varphi(t)=\mu (A\cap\lbrack t,t+1])$ es estrictamente creciente en a $t$ donde $\mu$ es la medida de Lebesgue.

Es fácil ver que un conjunto de $A$ debe tener vacío el interior en $\mathbb{R}$.

Gracias.

Answer 1

Aquí es cómo construir un conjunto de $A$.

Es bien sabido que el intervalo de $[0,1)$ contiene dos distintos subconjuntos medibles $X$ $Y$ tal que para cualquier $0\leq x < y \leq 1$ ambos $\mu(X\cap (x,y))>0$$\mu(Y\cap(x,y))>0$. Véase, por ejemplo, el breve periodo de prueba de esto por Rudin. Es sencillo extender Rudin del argumento para demostrar que $[0,1)$ contiene countably muchos conjuntos disjuntos que todos se cruzan cualquier intervalo de $(x,y)$ en medida positiva.

Deje $\ldots,X_{-1},X_0,X_1,X_2,\ldots$ ser una partición de $[0,1)$. Deje $T_x$ ser el mapa que se traduce subconjuntos de a $\mathbb{R}$ $x$ y definir \[ A = \bigcup_{\stackrel{m,n\in\mathbb{Z}}{m \leq n}} T_n(X_m), \] para la intersección de $A$ $[n,n+1)$ es la unión de adecuada se traduce de $X_m$ todos los $m \leq n$.

Ahora supongamos $k\in\mathbb{Z}$ $x,y\in\mathbb{R}$ satisfacer $k\leq x<y\leq k+1$. Deje $s = x-k$$t = y-k$, lo $0\leq s<t \leq 1$. Entonces \[ \begin{split} \phi(y)-\phi(x) & = \mu(A\cap [y,y+1]) - \mu(A\cap [x,x+1]) \\ &= \mu(A\cap (x+1,y+1]) - \mu(A\cap [x,y)) \\ & = \mu(A\cap(x+1,y+1)) - \mu(A\cap (x,y)) \\ & = \sum_{l\leq k+1} \mu(X_l\cap (s,t)) - \sum_{l\leq k} \mu(X_l\cap (s,t)) \\ & = \mu(X_{k+1}\cap(s,t)) > 0. \end{split} \] Por transitividad de la desigualdad $\phi(x) < \phi(y)$ todos los $x < y$$\mathbb{R}$.

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A ver donde la construcción por encima de vino, se puede demostrar que el $A$ con las propiedades especificadas en el post original es de la forma construida encima, con dos modificaciones. Primero, puede haber un adicional de $X_{-\infty}$ disjunta de todas las $X_k$ traducido a todos los $A\cap[n,n+1)$. Segundo, el conjunto de la construcción puede ser modificado por cualquier medida de ajuste a cero.