Pensé que tal vez podríamos comenzar con un triángulo congruente y tratar de cortarlo de manera similar a cómo creamos un Triángulo de Sierpinski. Sin embargo, la cantidad de triángulos más pequeños que obtenemos es una potencia de $4$, por lo que no funciona. ¿Algunas ideas?
Respuestas
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La descomposición es posible debido a que $2005 = 5\cdot 401$ y tanto $5$ e $401$ son números primos de la forma $4k+1$. Esto permitirá $2005$ a ser escrita como una suma de cuadrados.
$$2005 = 22^2 + 39^2 = 18^2+41^2$$
Para cualquier entero $n = p^2 + q^2$ que puede ser escrita como una suma de cuadrados. Considere la posibilidad de un ángulo recto del triángulo $ABC$ con $$AB = p\sqrt{n}, AC = q\sqrt{n}\quad\text{ and }\quad BC = n$$ Deje $D$ a $BC$ ser el pie de actitud en el $A$. Es fácil ver $\triangle DBA$ e $\triangle DAC$ son similares a $\triangle ABC$ con
$$BD = p^2, AD = pq\quad\text{ and }\quad CD = q^2$$ Uno puede dividir $\triangle DBA$ a $p^2$ e $\triangle DAC$ a $q^2$ triángulos con lados de $p, q$ e $\sqrt{n}$.
Como ejemplo, la siguiente es una subdivisión de un triángulo en $13 = 2^2 + 3^2$ triángulos congruentes.
En la literatura, esto se conoce como un biquadratic de ordenamiento en teselas de un triángulo. Para obtener más información acerca de la subdivisión de triángulos triángulos congruentes, mirar las respuestas en este MO post. En particular, la lista de documentos por Michael Beeson allí. La construcción se describe a continuación está basado en lo que he aprendido de uno de Michael papeles.
Jakuje
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Desde $2005$ es la suma de dos cuadrados, existe esta especie de triángulo. En un concurso, si usted está tratando de mostrar a $2005$ es una suma de dos cuadrados, se dan cuenta de que $2005=401\cdot 5$. Desde 401 y 5 son las sumas de cuadrados, sabemos que su producto también es una suma de cuadrados.
Ahora, en general, si tenemos $n=x^2+y^2$, dejar que nuestro triángulo ser un $x$ por $y$ triángulo rectángulo. Entonces, podemos dividir este triángulo a lo largo de la altitud a la hipotenusa, que nos da dos triángulos semejantes con hipotenusas $x$ e $y$ respectivamente. Finalmente, podemos descomponer cada uno de estos en $x^2$ e $y^2$ triángulos rectángulos semejantes, con hipotenusas $1$, a través de una versión estirada de la siguiente imagen.
