Un problema de geometría dura sobre círculos

Question

Encontré este problema en una página web y no pude hacer nada. ¿Tiene alguna idea, pistas?

Edición: Si digo $$\frac { { \partial }^{ 2 }f }{ \partial { a }^{ 2 } } +\frac { { \partial }^{ 2 }f }{ \partial { b }^{ 2 } } =0$$

¿Me equivoco?

Answer 1

Nada que ver con las funciones armónicas :)

Se trata de una versión del clásico Problema de Apolonio, para el que existen soluciones tanto geométricas como algebraicas. Véase http://en.wikipedia.org/wiki/Problem_of_Apollonius#Ten_combinations_of_points.2C_circles.2C_and_lines y/o http://mathworld.wolfram.com/ApolloniusProblem.html . Para el enfoque algebraico, puede utilizar las longitudes de cuerda $a$ y $b$ para escribir las ecuaciones de las dos líneas (digamos, a través del punto fijo $(-1,0)$ en el círculo unitario).

Edición #3: OK, resulta que hay que ser un poco más cuidadoso de lo que yo era. Dado $a<b$ hay dos configuraciones (hasta la congruencia). Así que, por fin, tenemos $f(a,b)=$ $$ \frac{a^2 (2+\sqrt{4-b^2})+a b (\sqrt{4-a^2}-\sqrt{4-b^2})+(\sqrt{4-a^2}-2)(4 \sqrt{4-b^2}+8-b^2)}{(a+b)^2} $$ cuando los acordes están en el mismo lado del diámetro por el punto común de las cuerdas, y

$$\frac{a^2(2-\sqrt{4-b^2})+ab(\sqrt{4-a^2}+\sqrt{4-b^2})-(\sqrt{4-a^2}-2) (b^2+4\sqrt{4-b^2}-8)}{(a+b)^2}$$ cuando están en frente a lados del diámetro.

Doy las gracias a @Rahul Narain por insistir en que lo haga bien :) Es tranquilizador que estas fórmulas coincidan cuando $b=2$ .

Todavía no hay funciones armónicas.