¿$\gcd\left(\binom{n}{k},n\right)>1$ para valores no triviales?

Question

¿Es la verdad de la conjetura siguiente?

Dado un $n>1$ y un $k$ tal que $0<k n="" y="">1$</k>

Esta fue una pregunta frecuentes en mi curso de teoría del número antiguo que recordaba recientemente. Se planteó después de que nos enteramos de que $p\mid\binom{p}{k}$ $0<k cualquier="" de="" elegante="" espero="" he="" lo="" manera.="" no="" nosotros="" nunca="" pero="" podido="" probarlo.="" que="" respuesta="" resuelve="" ser="" tener="" una="" verdadero="" y=""></k>

Answer 1

De manera más general: $$\gcd\left(\binom{n}{i}, \binom{n}{j}\right) > 1 \mbox{ if } 0 < i, j < n.$$

Prueba: La siguiente identidad se comprueba fácilmente: $$\binom{n}{i} \binom{n-i}{j} = \binom{n}{j} \binom{n-j}{i}.$$ Now if $\dpc\left(\binom{n}{i}, \binom{n}{j}\right) = 1$, then the above identity implies $\binom{n}{i} | \binom{n-j}{i}$ which is impossible because $\binom{n}{i} > \binom{n-j}{i}$. Hence $\gcd\left(\binom{n}{i}, \binom{n}{j}\right) > 1$.

Este argumento proviene de un papel de Erdős y Szekeres. (La identidad que utilizan realmente es un poco diferente y que demuestren una mayor demanda, que el mcd es $\ge 2^i$$i, j \le n/2$.)

Answer 2

Tenga en cuenta que $$ \begin{align} \binom{n}{k} &=\frac{n}{k}\binom{n-1}{k-1}\\ &=\frac{n}{\gcd(k,n)}\frac{\gcd(k,n)}{k}\binom{n-1}{k-1}\tag{1} \end{align} $$ Por lo tanto, desde el $(1)$ es un número entero, $$ \left.\frac{k}{\gcd(k,n)}\,\medio|\,\frac{n}{\gcd(k,n)}\binom{n-1}{k-1}\right.\la etiqueta{2} $$ Sin embargo, desde $$ \gcd\left(\frac{n}{\gcd(k,n)},\frac{k}{\gcd(k,n)}\right)=1\etiqueta{3} $$ $(2)$ implica que debemos tener $$ \left.\frac{k}{\gcd(k,n)}\,\medio|\,\binom{n-1}{k-1}\right.\la etiqueta{4} $$ Por lo tanto, $(1)$ $(4)$ muestran que $$ \left.\frac{n}{\gcd(k,n)}\,\medio|\,\binom{n}{k}\right.\la etiqueta{5} $$ y así, $$ \left.\frac{n}{\gcd(k,n)}\,\medio|\,\gcd\left(\binom{n}{k},n\right)\right.\la etiqueta{6} $$ Si $0\lt k\lt n$, $\gcd(k,n)\lt n$ y, por tanto,$\dfrac{n}{\gcd(k,n)}\gt1$.

Answer 3

Ver secuencia de OEIS A091963 y referencia dado allí.