Número de grupos abelianos no isomorfos de un orden fijo dado

Question

Sea G un grupo abeliano finito con |G| = $p_1^{n_1}...p_k^{n_k}$ en su forma primitiva factorizada.

Además, deja que $p(n)$ sea el número de particiones únicas de $n$ donde llamamos $\sum_{i=1}^l k_i = n$ una partición de n con $k_1 \leqslant ... \leqslant k_l$ todos los enteros positivos.

Ahora, quiero encontrar el número de posibles grupos a los que G podría ser isomorfo. Parece probable que el teorema fundamental de los grupos abelianos finitos pueda utilizarse aquí.

En este sentido, ¿es tan sencillo como $\prod_{i=1}^l p(n_i)$ ¿o me estoy perdiendo algo?

Answer 1

La fórmula que propones es, efectivamente, correcta. El número de grupos abelianos finitos de orden fijo viene dado por OEIS A000688 .

Answer 2

También puede probarlo considerando $|G|=p^n$ , entonces el caso general se seguirá repetidamente utilizando el hecho de que $\Bbb Z_a\times\Bbb Z_b\cong\Bbb Z_{ab}\iff\gcd(a,b)=1$ (considerar primos distintos). Un grupo abeliano de orden $p^n$ puede escribirse $$\Bbb Z_{p^{x_1}}\times \Bbb Z_{p^{x_2}}\times \dots\times \Bbb Z_{p^{x_k}}$$

Con el requisito de que $$x_1+x_2+\dots+x_k=n\tag{1}$$ Para no tener duplicados también podemos exigir que $0\leq x_1\leq x_2\leq\dots\leq x_k$ . El número de soluciones a $(1)$ es ahora la función de partición, $p(n)$ . (He dado una respuesta más detallada aquí )