Dificultad de ecuación de la función Delta

Question

¿1) podemos resolver nosotros si tenemos dos funciones delta con $a=b$? ¿Podemos solucionarlo? Si no ¿por qué?

$$\int\delta (x−a)\delta(a−x)dx$$

2) podemos solucionarlo

$$\int f(x)\delta (x)dx$$

... cuando $f(x)=1/x$ $f(x)$ es infinita en $x=0$ y también la función delta es infinita en $x=0$. Podemos tener muchos tal similar $f(x)$ que puede enfrentar la misma dificultad.

Answer 1

El problema que se enfrenta con esto radica en el hecho de que la Dirac-delta distribución no es en realidad una función, es un tipo de medida. Así que usted no puede tratar formalmente en el mismo sentido se trataría de una función de $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$. Al integrar una función con respecto a la integración normal

$$ \int f(x) dx $$

usted está implícitamente la integración de la función de $f$ con respecto a un tipo de medida medida de Lebesgue, y la medida de Lebesgue es, para la mayor parte, en consonancia con la integración de Riemann (son exactamente los mismos que en el caso de funciones continuas). Cuando usted escribe $\int f(x) \delta(x-a) dx$ parece que está haciendo de la integración de Riemann, pero que en realidad no son. En su lugar está la integración de la función de $f$ con respecto a una medida distinta.

Otra manera de pensar acerca de la medida, es para ver la medida como la asignación de "masa" o importancia a ciertas partes de la línea real. En la medida de Lebesgue, todos los puntos son tratados por igual y la masa es asignado a intervalos y corresponde a la longitud, ya que normalmente sería interpretarlo. Para la medida de Dirac dado por $\delta(x-a)$, un punto se considera contener todos los de la misa, a saber, el punto de $a$.

Así, cuando pensamos en la integración con respecto a la medida de Dirac, que en realidad no hacen sentido para tratar el $\delta(x-a)$ como una función. Por lo tanto, la escritura de $\int \delta(x-a) \delta(a-x)dx$ en realidad no tiene sentido. Otro punto importante es que, dada una medida definida en un conjunto, podemos describir las funciones como ser medibles con respecto a una determinada medida. Cuando una función es medible con respecto a una determinada medida, a continuación, podemos integrar con respecto a esa medida. Es así que resulta que $f(x) = \frac{1}{x}$ no está de Dirac-medible, por lo tanto no podemos calcular la integral de la $\int f(x) \delta(x)$.