Velocidad de evaporación de un jarrón

Question

La base de un vaso, es creado por la rotación de la curva

$$f(x)=2.393794315((1.25916975182872)\left(\frac{x}{2.24581}\right)^4+(-4.29578020022745)(\frac{x}{2.24581})^3+(4.37766951188496)(\frac{x}{2.24581})^2+(-0.553610482668319)(\frac{x}{2.24581})+(-1.6343566433531))$$

...definido en el dominio {${0.224581\le x\le 2.919553}$}, girar a $2\pi$ radianes sobre el eje de las x.

Las unidades de los ejes de coordenadas están en centímetros.

Mi objetivo es encontrar el tiempo que tarda cuando la base de la vasija está completamente lleno de agua para que se evapore.

A través de algunos conceptos básicos de la evaporación de las ecuaciones de la termodinámica, he descubierto que:

$$\frac{dV}{dt}=-2.55\cdot Exposed\ Surface\ Area$$

Como la curva de arriba se giraba en torno al eje x, es obvio que:

$$Exposed\ Surface\ Area=\pi \cdot (f(x))^2$$

Sin embargo, esto es lo más lejos que he podido ir. En un ejemplo práctico que he visto, la tasa de variación en volumen ($\frac{dV}{dt}$) se vincula con el volumen del recipiente restantes y, a continuación, el volumen total de la vasija fue conectado a resolver la ecuación diferencial de tiempo. Aquí está:

SOLUCIÓN

Por favor me ayudan a continuar. Cualquier ayuda será muy apreciada, gracias de antemano.

Answer 1

Hay muchos más números en esta pregunta que me gustaría, así que voy a probar a quitar todo lo que no es relevante para la solución un poco más general del problema y, a continuación, usted debe ser capaz de acabar con el problema.

Supongamos que tenemos un cuerpo cilíndrico simétrica vaso, y que representan por su radio de $f$ como una función de la altura sobre el suelo $x$.

Si el vaso está lleno de agua hasta una altura de $h$, entonces el área expuesta de que el agua es $A(h)$ donde definimos: $$A(x)=\pi(f(x))^2.$$

El volumen de contenidos es el volumen de la revolución: $$V(h) = \int_0^h A\mathrm d x.$$

Ahora tenemos la evaporación dado por algunos tasa y el área expuesta: $$\frac{\mathrm d V}{\mathrm d t} = -k A(h),$$ donde $h$ es la instantánea del nivel de agua y $k>0$ es una constante de la tasa de evaporación.

Queremos saber lo que el nivel de agua $h$ va a ser en varias ocasiones por lo que se desea considerar $\frac{\mathrm d h}{\mathrm d t}.$

Ok. Ahora vamos a terminar esto en un par de líneas. Mirar hacia fuera para:

• La regla de la cadena
• El teorema fundamental del cálculo
• Un poco de la reorganización y la sustitución de
• La suposición de que $A\ne0$
• Resolver una simple ecuación diferencial

Aquí vamos: $$\begin{align} \frac{\mathrm d V}{\mathrm d t}&=\frac{\mathrm d h}{\mathrm d t}\frac{\mathrm d V}{\mathrm d h}\\ \frac{\mathrm d V}{\mathrm d h} &= \frac{\mathrm d }{\mathrm d h} \int_0^h A(x) \mathrm d x\\ &= A(h)\\ A(h) &= -\frac1k\frac{\mathrm d V}{\mathrm d t} \\ &=-\frac1k\frac{\mathrm d h}{\mathrm d t} A(h)\\ -k&=\frac{\mathrm d h}{\mathrm d t}\\ h&=h_0-k t \end{align}$$

Dada la altura inicial $h_0$ puede resolver la última ecuación para el momento en que $h=0.$

Quizás este resultado puede ser sorprendente, pero si se acepta que es razonable para un volumen de revolución mediante la integración de superficie (resumiendo un montón de lámina), entonces parece razonable que la eliminación de ellos a una tasa constante por la evaporación podría reducir el nivel de agua a un ritmo constante.

Otra manera de pensar en esto es mediante la aplicación de algunas dimensiones de análisis para la tasa de evaporación: La tasa de evaporación es algo de volumen (longitud cortada en cubos) que se evapora por una superficie dada (longitud al cuadrado) en un momento dado. Así, se ha dimensión $\frac{L^3}{L^2T}=LT^{-1}$ que es una velocidad por lo que es muy natural suponer que la tasa de evaporación es igual a la tasa que la profundidad del líquido disminuye, y de hecho lo es.

Para acabar con su problema, usted tiene $h_0=2.919553-0.224581=2.694972\text{ cm}$ $k=2.55$ (desconocido unidades; dimensión $L^3T^{-1}L^{-2}=LT^{-1}$) por lo que el tiempo para el jarrón vacío sería $\frac{h_0}{k}\approx 1.06$ (desconocido unidades de tiempo)