Esta discusión sigue las soluciones de los problemas de 1-2 dado en Un Problema de Seminario por Donald J. Newman (Springer, 1982), pp 45-46.
En primer lugar, tenga en cuenta que todos los cuatro de $+, -, \times, \div$ puede ser construido sólo a partir de $-$ y el recíproco de la operación $x\mapsto \frac1x$: Además es fácil: $$x+y = x-((x-x)-y).$$
Por parcial fracción de descomposición hemos $$ \frac1{x-x^2} = \frac1{1-x} + \frac1x$$
Por lo $$x^2 = x-\left(\frac1{1-x} + \frac1x\right)^{-1}.$$
Ahora podemos calcular el $(x,y)\mapsto -2xy$ mediante $-2xy = (x-y)^2 - x^2 - y^2$. Podemos deshacernos de la $-2$ mediante $\frac u{-2} = \left(\left(0-\frac1u\right)-\frac1u\right)^{-1}$. Y ahora que tenemos la multiplicación, obviamente llegamos $x\div y = x\cdot \frac 1y$. Así tenemos todos los de $+,-,\times,\div$ $-$ y recíproca.
Segundo, necesitamos encontrar una única operación que nos da $-$ y recíproca. Newman observa que no hay nada como $x\circ y = x(x+y)$ puede trabajar porque nunca puede darnos la resta. Así que en vez de intentar hacer algo como $$x\circ y = \frac1{x-y}$$ que tiene la resta y la reciprocidad en ella ya.
Recíproco es fácil: $$x\circ 0 = \frac1{x-0} = \frac1x.$$
Y, a continuación, $$(x\circ y)\circ 0 = \frac1{\frac1{x-y}-0} = x-y.$$
Así que los cuatro de $+, -, \times, \div$ puede ser definido en términos de $\circ$.
Mirando este ahora, me doy cuenta de que Newman ha asume tácitamente que nos permite utilizar ciertas constantes: $0$ en la segunda parte, y 1 en la primera parte. (0 en la primera parte puede ser sintetizado a partir de $x-x$.) No sé si estos se pueden evitar, pero tal vez usted no se preocupan por ese detalle.
