Si$A\cup B=\mathbb{R}$ y$A,B$ están cerrados, entonces$A$ o$B$ contiene un intervalo.

Question

En esta respuesta, el siguiente hecho se supone:

Si $A$ $B$ son subconjuntos cerrados de $\mathbb{R}$ tal que $A\cup B=\mathbb{R}$, entonces cualquiera de las $A$ o $B$ contiene un intervalo.

¿Por qué es eso cierto? Pensé por primera vez que podemos utilizar la teoría de la medida: $m(A)>0$ $m(B)>0$ y por lo tanto uno contiene un intervalo abierto. Pero esto es falso ya que hay conjuntos de medida positiva que no contienen ningún intervalo (por ejemplo,$\mathbb{R}-\mathbb{Q}$). Pero $\mathbb{R}-\mathbb{Q}$ no está cerrado, así que tal vez cerrado conjuntos con medida positiva contienen intervalos?

Answer 1

Si $A$ no es todo de $\mathbb{R}$, entonces $\mathbb{R}\setminus A$ es un conjunto abierto no vacío, y así en particular contiene un intervalo abierto. $\mathbb{R}\setminus A\subseteq B$.

(Mucho menos trivial, incluso si tienes contable infinitamente muchos sistemas cerrados cuya unión es $\mathbb{R}$, entonces por el teorema de categoría de Baire, uno de ellos deben contener un intervalo.)

Answer 2

$\mathbb{R} \backslash A$ es un conjunto abierto (a menos que$A = \mathbb{R}$, en cuyo caso$A$ contendría un intervalo abierto), por lo que contiene un intervalo abierto y$ \mathbb{R}\backslash A \subset B$, porque$$A \cup B = \mathbb{R} \implies (A \cup B) \ A = \mathbb{R} \A \implies \mathbb{R} \A \subset B$$. Hence $ B $ contiene un intervalo abierto.