Para demostrar que la multiplicidad algebraica es igual a la dimensión del eigespacio generalizado

Question

Estoy atascado en un paso de la prueba.

Sea $G_{T}(\lambda)$ sea la dimensión del eigespacio generalizado de una matriz triangular superior $T$ con valor propio $\lambda$ y que $\#_T(\lambda)$ sea el número de veces $\lambda$ aparece en la diagonal.

El autor ya ha demostrado que $$G_T(\lambda) \ge \#_T(\lambda)$$ por lo que la igualdad puede establecerse demostrando que $$\#_T(\lambda) \ge G_T(\lambda)$$

El autor utiliza el IM en la dimensión $m$ de $T$ de los cuales el caso base $m=1$ es trivial.

Entonces supongamos que la desigualdad es cierta para todo $1$ a $m-1$ y luego considerar una matriz triangular superior $T$ con dimensión $m$ .

Supongamos que $\{v_1,v_2,\cdots,v_m\}$ es una base para el espacio vectorial $V$ con entradas diagonales $\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_m$ . Entonces $U=\langle\{v_1,v_2,\cdots,v_{m-1}\}\rangle$ es un subespacio de $V$ que es invariante con respecto a $T$ . Entonces la restricción $T_U:U\to U$ con base $\{v_1,v_2,\cdots,v_{m-1}\}$ tiene una representación triangular superior con elementos diagonales $\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_{m-1}$ para lo que se puede aplicar la hipótesis de inducción.

Ahora, el paso de inducción del autor comienza por esto: Supongamos que $\lambda$ es cualquier valor propio de $T$ . Supongamos entonces que $v\in Ker((T-\lambda I_V)^m)$ .

Como elemento de $V$ podemos escribir $v$ como combinación lineal de los elementos de base de $\{v_1,v_2,\cdots,v_m\}$ o, de forma más compacta, existe un vector $u \in U$ y un escalar $\beta$ tal que $v=u+\beta v_m$ .

Entonces,

$$\beta(\lambda_m - \lambda)^m v_m =\beta(T-\lambda I_V)^m(v_m)$$

$$=-(T-\lambda I_V)^m (u) + (T-\lambda I_V)^m (u) + \beta(T-\lambda I_V)^m(v_m)$$ $$=-(T-\lambda I_V)^m (u) + (T-\lambda I_V)^m (u+\beta v_m)$$ $$=-(T-\lambda I_V)^m (u) + (T-\lambda I_V)^m (v)$$ $$=-(T-\lambda I_V)^m (u)$$ La expresión final es un elemento de $U$ porque $U$ es invariante con respecto a $T$ y $I_V$ . Por lo tanto $$\beta(\lambda_m - \lambda)^m v_m=0$$ $$\cdots$$

Estoy atascado en el primer paso. El autor dice que este paso utiliza el teorema de que si $\lambda$ es un valor propio de una matriz $A$ entonces para el entero $s \ge 0$ , $\lambda^s$ es un valor propio de $A^s$ . Pero $$(T-\lambda I_V)v_m \ne (\lambda_m-\lambda)v_m$$

¡Gracias de antemano por cualquier ayuda! Saludos.

Answer 1

Usted tiene $(T - \lambda I_v)(v_m) = (\lambda_m - \lambda) v_m + \tilde{u}$ donde $\tilde{u} \in U$ . Por inducción se sabe que $(T- \lambda I)^{m-1} (\tilde{u}) = 0$ para cualquier valor propio $\lambda$ de $T_U$ y $\tilde{u} \in U$ .

Entonces $(T - \lambda I_v)^m (v_m) = (\lambda_m - \lambda)^m v_m$