Encontrar productos naturales números $p$ y $q$ tal que $\frac{\sqrt{p^2+7}}{\sqrt{q^2-3}}$el % es racional

Question

Encontrar productos naturales números $p$ y $q$ tal que $\frac{\sqrt{p^2+7}}{\sqrt{q^2-3}}$el % es racional

he tomado $$\frac{\sqrt{p^2+7}}{\sqrt{q^2-3}}=\frac{a}{b}$$ where $ a $ and $b$ son positivos enteros que son co prime luego después de simplificación

$$3a^2+7b^2=(aq-bp)(aq+bp)$$

$$3(a^2+b^2)+4b^2=(aq-bp)(aq+bp)$$

Obviamente $a$ y $b$ tanto no se puede aún ya que son primer co

pero ahora si considero que otros casos no he podido encontrar $p$ y $q$...i será feliz si consigo cualquier atisbo

Answer 1

Si $\dfrac{p^2+7}{q^2-3} = \dfrac{a^2}{b^2}$, donde $\gcd(a,b) = 1$, entonces existe un entero positivo $r$ tal que % $ $$\begin{cases}p^2 - ra^2 = -7& \ q^2 - rb^2 = 3. & \end{cases}$

Cada $r$ tenemos dos independientes generalizaron las ecuaciones de Pell. Hay varios algoritmos para encontrar las soluciones a ecuaciones de este. Le sugiero que lea los aquí.