Estas dos secuencias tienen el mismo límite

Question

Dejemos que $a_1$ y $b_1$ sean dos números positivos cualesquiera, y definamos $\{ a_n\}$ y $\{ b_n\}$ por

$$a_n = \frac{2a_{n-1}b_{n-1}}{a_{n-1}+b_{n-1}},$$

$$b_n = \sqrt{a_{n-1}b_{n-1} }.$$

Demostrar que las secuencias $\{a_n\}$ y $\{b_n\}$ convergen y tienen el mismo límite.

Fuente: Resolución de problemas a través de los problemas por Loren C. Larson.

Una pista:

Utiliza el principio de exprimir.

Answer 1

Dejemos que $A_n$ denotan la media aritmética de $a_n$ y $b_n$ y $G_n$ su media geométrica. Tenemos

$$a_{n+1} = \frac{G_n^2}{A_n} \leq G_n = b_{n+1}$$

Si, WLOG, $a < b$ entonces

$$a_n < a_{n+1} < b_{n+1} < b_n$$

al inspeccionarla, lo que establece la monotonicidad y la acotación de ambas secuencias; por tanto, convergen. En particular, dado que $a_n$ es Cauchy, encontramos (fijando $\epsilon$ ) que hay $N$ tal que

$$\left| a_n - a_{n-1} \right| = \left| \frac{a_{n-1} (a_{n-1} - b_{n-1})}{a_{n-1} + b_{n-1}} \right| < \epsilon$$

para cualquier $n > N$ . Desde $\frac{a_{n-1}}{a_{n-1} + b_{n-1}} < 1$ vemos que

$$\left| (a_{n-1} - b_{n-1}) \right| < \epsilon$$ si $n > N$ Lo que demuestra nuestra afirmación.