Encontrar el área bajo una curva representada por la ecuaciones $x=a\cos{t}+\frac{a}{2}\ln{\left(\tan^2{\frac{t}{2}}\right)}$ y $y=a\sin t$

Question

¿Cómo puedo encontrar el área de la curva representada por las siguientes ecuaciones, $$x=a\cos{t}+\frac{a}{2}\ln{\left(\tan^2{\frac{t}{2}}\right)}\\ y=a\sen t$$

Aquí es lo que he intentado:

Deje $A$ el valor del área de la curva, a continuación, $$A=\int y\,dx\\ and\;dx=\left(-a\sin t + \frac{a}{2}\cot {\frac{t}{2}}.\sec^2 {\frac{t}{2}}\right)dt\\So,\;A=\int (a\sin t)\left(-a\sin t + \frac{a}{2}\cot {\frac{t}{2}}.\sec^2 {\frac{t}{2}}\right)dt $$

Ahora esto no sólo parece excesivamente complicado, pero también tengo ni idea de que dentro de los límites debo integrar esta expresión. Hay alternativas más fáciles ?

$\mathbf {P.S}$: También cómo sería una gráfica de esta curva ? ¿Cómo se vería ?

Answer 1

Hay diferentes enfoques que conducen a la solución. Una posibilidad es usar la fórmula simétrica$$ A = \tfrac12 \int \mathbf{r} \times d \mathbf{r} =\tfrac12 \int(y dx - x dy)$ $ para la evaluación del área comprendida por la curva. Al insertar las expresiones$$ \mathbf{r} = a \bigl[\cos t+\tfrac{1}{2}\ln \tan^2(t/2), \sin t\bigr]^T,$ $$$ d\mathbf{r} = a \cos t \bigl[\cot t, 1 \bigr]^T,$ $ que obtiene después de algunas transformaciones simples$$A = - \frac{a^2}4 \int_0^{2\pi} \cos t \,\ln \tan^2(t/2) .$ $ Integración por partes (integrando$\cos t$ y tomando el derivado del resto), obtiene% PS