¿Cuáles son las secciones de $ \mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C}[[x,y]]^{alg}[ \frac {1}{xy}]$ ?

Question

He estado pensando en anillos raros últimamente, y no pude responderme la siguiente pregunta:

¿Cuáles son las secciones de la inclusión $ \mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C}[[x,y]]^{alg}[ \frac {1}{xy}]$ (el $alg$ en el superíndice significa que sólo tomo esas series de poder formales que son algebraicas sobre $ \mathbb {C}(x,y)$ aunque si tienes una respuesta de antemano para el anillo de todas las series de poder, supongo que sería interesante también)?

En otras palabras, ¿cuáles son los posibles valores que $x$ y $y$ puede tomar para que nos dé una sección bien definida?

P.D. Puse esto bajo geometría algebraica porque se me da a entender que tiene que ver con algo llamado el tallo etale.

Answer 1

Me parece que esta pregunta fue contestada básicamente en los comentarios de Qiaochu y Nicole, por lo que estoy poniendo una respuesta de CW para anotar esto. Por favor, háganme saber si estoy recibiendo algo malo:

No hay $ \mathbb {C}$ -Mapas de álgebra $ \mathbb {C}[[x,y]]^{alg}[1/(xy)] \to \mathbb {C}$ .

Prueba: Supongamos, en aras de la contradicción, que $ \phi $ es como un mapa. Entonces $ \phi (x)$ no puede ser para $0$ como $ \phi (x) \phi (y) \phi (1/(xy))$ debe ser $1$ .

Deje que $ \phi (x) =a \neq 0$ . Luego $1/(1-a^{-1}x)$ está en nuestro anillo. Se supone que tenemos que tener $$ \phi (1-a^{-1} x) \phi (1/(1-a^{-1}x)) = 1.$$ Pero el LHS es $$(1-a^{-1} \cdot a) \phi (1/(1-a^{-1}x)) = 0 \cdot \phi (1/(1-a^{-1}x)) =0,$$ una contradicción. QED