I) Para simplificar, hablemos de tensores en el contexto de la (dimensión finita) espacios vectoriales y álgebra multilineal . [Hay una generalización directa a colectores y geometría diferencial .]
II) De forma abstracta, en notación libre de coordenadas, el Tensor delta de Kronecker o contracción del tensor es el emparejamiento natural
$$\tag{1} V \otimes V^{*}~\stackrel{\delta}{\longrightarrow}~ \mathbb{F}$$
$$ v\otimes f ~\stackrel{\delta}{\mapsto}~ f(v) , \quad v\in V, \quad f\in V^{*},$$
entre un $\mathbb{F}$ -espacio vectorial $V$ y su espacio vectorial dual $V^{*}$ .
III) Si elegimos una base $(e_i)_{i\in I}$ para $V$ Hay un doble base $(e^{j*})_{j\in I}$ para $V^{*}$ tal que
$$\tag{2} e^{j*}(e_i)~=~\delta^j_i~:=~\left\{ \begin{array}{rcl} 1 &\text{for}& i=j, \\ \\ 0 &\text{for}& i\neq j. \end{array}\right. $$
[Aquí distinguimos entre índices covariantes y contravariantes .] Entonces para un vector $v=\sum_{i\in I} v^i e_i\in V$ y un cobertor $ f=\sum_{j\in I} f_j e^{j*}\in V^{*}$ el mapa de contracción (1) es
$$\tag{3} \delta(v,f)~=~ \sum_{i,j\in I} f_j \delta^j_i v^i~=~ \sum_{i\in I}f_i v^i. $$
En otras palabras, $\delta^j_i$ es la representación matricial del $\delta$ mapa de contracción (1). Es un hecho interesante que la representación matricial es independiente de la elección de la base $(e_i)_{i\in I}$ para $V$ siempre que elijamos la base dual correspondiente para $V^{*}$ de forma natural. A menudo decimos que $\delta^j_i$ se transforma como un tensor, o es un tensor.
IV) Ahora bien, ¿qué pasa con $\delta_{ij}$ ¿con índices más bajos? Bien, primero debemos introducir una simetría forma bilineal o métrica,
$$\tag{4} V\times V ~\stackrel{g}{\longrightarrow}~ \mathbb{F} $$ $$ g(v,w)=g(w,v) .$$
Si elegimos una base $(e_i)_{i\in I}$ para $V$ entonces podemos escribir
$$ \tag{5} g ~=~ \sum_{i,j\in I} g_{ij}~ e^{i*}\otimes e^{j*} .$$
A menudo elegiremos una métrica que sea la matriz unitaria en una base determinada
$$\tag{6} g_{ij} ~=~\delta_{ij}~:=~\left\{ \begin{array}{rcl} 1 &\text{for}& i=j, \\ \\ 0 &\text{for}& i\neq j. \end{array}\right. $$
Si ahora elegimos otra base entonces la representación matricial $g_{ij}$ para la métrica (4) cambiará en general. En general, ya no será la matriz unitaria $\delta_{ij}$ . Decimos que $\delta_{ij}$ hace no transformarse como un tensor bajo un cambio general de bases/coordenadas.
En pocas palabras, $\delta_{ij}$ con índices inferiores señala implícitamente la presencia de una métrica (4), o en otras palabras, una noción de escala de longitud en el espacio vectorial $V$ . Es importante tener en cuenta que la elección de una métrica (4) en $V$ es una opción no canónica.
V) Sin embargo, una vez que se nos da una métrica $g$ es natural estudiar los cambios de bases/coordenadas que preservan esta métrica $g$ . Estos corresponden a transformaciones ortogonales y $\delta_{ij}$ se comporta como un tensor covariante bajo tales transformaciones ortogonales.
